Математикадан аудандық олимпиада, 2002-2003 оқу жылы, 10 сынып

$f\left( x \right)=a{{x}^{2}}+8x+b$ және $g\left( x \right)=b{{x}^{2}}+8x+a$ функцияларының ең кіші мәндерінің қосындысы нөлге тең $\left( a > 0,b > 0 \right).$ Осы ең кіші мәндердің әрқайсысы 0-ге тең екенін дәлелдеңіз.

Комментарий/решение

Преобразовав квадратные трехчлены, имеем следующее: $$ f(x)=ax^2+8x+b=a\left(x+\frac{4}{a}\right)^2+b- \frac{16}{a} \Rightarrow ~f_{\min}=b- \frac{16}{a}$$

$$g(x)=bx^2+8x+a=b\left(x+\frac{4}{b}\right)^2+a- \frac{16}{b} \Rightarrow ~g_{\min}=a- \frac{16}{b}.$$

По условию $f_{\min}+g_{\min}=a+b- \frac{16}{a}- \frac{16}{b}=0$. Тогда $(a+b)\cdot\left(1- \frac{16}{ab}\right)=0$. Так как $a+b>0$, то $1- \frac{16}{ab}=0$, $ab=16$. Значит, $$f_{\min}=b- \frac{16}{a}= \frac{ab-16}{a}=0,\quad g_{\min}=a- \frac{16}{b}= \frac{ab-16}{b}=0.$$