Районная олимпиада, 2002-2003 учебный год, 10 класс

Решите систему уравнений: $$\left\{ \begin{array}{rcl} x+[y]+\{z\}=3,\!9, \\ y+[z]+\{x\}=3,\!5,\\ z+[x]+\{y\}=2,\\ \end{array} \right. $$ где $[x]$ — целая часть $x$, а $\{x\} = x - [x]$ — дробная часть.

Комментарий/решение

$\left\{ \begin{array}{rcl} x+\lfloor y\rfloor +\{z\}&=&3{,}9, \\ y+\lfloor z\rfloor +\{x\}&=&3{,}5,\\ z+\lfloor x\rfloor +\{y\}&=&2. \end{array} \right.$

Сложив систему получим:

$x+y+z=4{,}7$

Вычитая из последнего уравнения каждое уравнение системы, получим:

$\left\{ \begin{array}{rcl} \{y\}+\lfloor z\rfloor &=&0{,}8, \\ \{z\}+\lfloor x\rfloor &=&1{,}2,\\ \{x\}+\lfloor y\rfloor &=&2{,}7. \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{r} \{y\}=0{,}8, \, \lfloor z\rfloor =0,\\ \{z\}=0{,}2, \, \lfloor x\rfloor =1,\\ \{x\}=0{,}7, \, \lfloor y\rfloor =2. \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{r} x=1{,}7,\\ y=2{,}8,\\ z=0{,}2. \end{array} \right.$