Математикадан аудандық олимпиада, 2002-2003 оқу жылы, 10 сынып

Теңдеу жүйесін шешіңіз: $$\left\{ \begin{array}{l} x + \left[ y \right] + \left\{ z \right\} = 3,9,\\ y + \left[ z \right] + \left\{ x \right\} = 3,5,\\ z + \left[ x \right] + \left\{ y \right\} = 2, \end{array} \right.$$ бұл жерде $[x]$ саны — $x$-тың бүтін бөлімі, ал $\{ x\} = x - [x]$ саны $x$-тің бөлшек бөлімі.

Комментарий/решение

$\left\{ \begin{array}{rcl} x+\lfloor y\rfloor +\{z\}&=&3{,}9, \\ y+\lfloor z\rfloor +\{x\}&=&3{,}5,\\ z+\lfloor x\rfloor +\{y\}&=&2. \end{array} \right.$

Сложив систему получим:

$x+y+z=4{,}7$

Вычитая из последнего уравнения каждое уравнение системы, получим:

$\left\{ \begin{array}{rcl} \{y\}+\lfloor z\rfloor &=&0{,}8, \\ \{z\}+\lfloor x\rfloor &=&1{,}2,\\ \{x\}+\lfloor y\rfloor &=&2{,}7. \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{r} \{y\}=0{,}8, \, \lfloor z\rfloor =0,\\ \{z\}=0{,}2, \, \lfloor x\rfloor =1,\\ \{x\}=0{,}7, \, \lfloor y\rfloor =2. \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{r} x=1{,}7,\\ y=2{,}8,\\ z=0{,}2. \end{array} \right.$