қазақша
русскийГородская олимпиада по математике среди физ-мат школ г. Алматы
Есеп №1. $S$ жиыны $\{1,2,3,\ldots,2027\}$ жиынының ішкі жиыны болсын. Оның кез келген $a$, $b$, $c$ элементтері үшін (олардың әртүрлі болуы міндетті емес) $a+b+c$ қосындысы $S$ жиынының элементі емес. $S$ жиынында ең көбі неше элемент болуы мүмкін?
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №2. Бастапқыда тақтада $10$ саны жазылған. Бір қадамда оқушы тақтада жазылған $a$ санын өшіріп, оның орнына өз таңдауы бойынша $(a+20)^{26}$ немесе $(a+26)^{20}$ сандарының бірін жазады. Оқушы бірнеше осындай қадамнан кейін тақтадағы саны $2026$-ға бөлінетін сан болатындай етіп әрекет жасай алады ма?
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №3. Бүтін коэффициентті $f(x)=a_{2027}x^{2027}+\cdots+a_1x+a_0$ және $g(x)=b_nx^n+\cdots+b_1x+b_0$ көпмүшелері берілген, мұнда $a_{2027} > 0$ және $b_n > 0$. Кез келген натурал $x$ саны үшін $f(x)=g(y)$ теңдігі орындалатындай $y\geq 2027$ болатын натурал $y$ санының табылатыны белгілі. Сонымен қатар, кез келген натурал $z\geq 2027$ саны үшін $g(z)=f(t)$ теңдігі орындалатындай натурал $t$ санының табылатыны белгілі.
а) Барлық бүтін $x$ сандары үшін $f(x)=g(x+2026)$ теңдігі орындала ма?
б) Барлық бүтін $x$ сандары үшін $f(x)=g(x+k)$ теңдігі орындалатындай бүтін $k$ санының бар болатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение
а) Барлық бүтін $x$ сандары үшін $f(x)=g(x+2026)$ теңдігі орындала ма?
б) Барлық бүтін $x$ сандары үшін $f(x)=g(x+k)$ теңдігі орындалатындай бүтін $k$ санының бар болатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение
Есеп №4. Бесбұрыш $ABCDE$ шеңберге сырттай сызылған. $\angle BAE=\angle ABC=90^\circ$ екені белгілі. $BA$ және $DE$ сәулелері $F$ нүктесінде қиылысады. $AB$ және $DC$ сәулелері $G$ нүктесінде қиылысады. $CD$ және $AE$ сәулелері $H$ нүктесінде қиылысады. $ED$ және $BC$ сәулелері $I$ нүктесінде қиылысады. $r(XYZ)$ арқылы $XYZ$ үшбұрышына іштей сызылған шеңбердің радиусын белгілейік. $$r(AEF)\cdot r(CDI)=r(BCG)\cdot r(DEH).$$ теңдігін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)