қазақша
русскийГородская олимпиада по математике среди физ-мат школ г. Алматы
Задача №1. Подмножество $S$ множества $\{1,2,3,\ldots,2027\}$ таково, что для любых его элементов $a$, $b$, $c$ (необязательно различных) сумма $a+b+c$ не является элементом $S$. Какое наибольшее число элементов может содержать $S$?
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №2. Первоначально на доске записано число $10$. За один шаг школьник стирает с доски записанное на ней число $a$ и вместо него пишет одно из двух чисел: $(a+20)^{26}$ или $(a+26)^{20}$ (по своему выбору). Может ли школьник добиться того, чтобы через несколько таких шагов на доске будет записано число, делящееся на 2026?
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №3. Два многочлена с целыми коэффициентами $f(x)=a_{2027}x^{2027}+\cdots+a_1x+a_0$ и $g(x)=b_nx^n+\cdots+b_1x+b_0 $ таковы, что $a_{2027} > 0$ и $b_n > 0$. Известно, что для любого натурального $x$ существует натуральное $y\geq 2027$ такое, что $f(x)=g(y)$. Также известно, что для любого натурального $z\geq 2027$ существует натуральное $t$ такое, что $g(z)=f(t)$.
а) Верно ли, что $f(x)=g(x+2026)$ для всех целых $x$?
б) Докажите, что существует такое целое число $k$, что $f(x)=g(x+k)$ для всех целых $x$.
комментарий/решение
а) Верно ли, что $f(x)=g(x+2026)$ для всех целых $x$?
б) Докажите, что существует такое целое число $k$, что $f(x)=g(x+k)$ для всех целых $x$.
комментарий/решение
Задача №4. Пятиугольник $ABCDE$ описан около окружности. Известно, что $\angle BAE=\angle ABC=90^\circ$. Лучи $BA$ и $DE$ пересекаются в точке $F$. Лучи $AB$ и $DC$ пересекаются в точке $G$. Лучи $CD$ и $AE$ пересекаются в точке $H$. Лучи $ED$ и $BC$ пересекаются в точке $I$. Через $r(XYZ)$ обозначим радиус вписанной в треугольник $XYZ$ окружности. Докажите, что $$r(AEF)\cdot r(CDI)=r(BCG)\cdot r(DEH).$$
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)