қазақша
русскийЮниорская олимпиада по математике. Заключительный этап. 2025-2026 учебный год. 8 класс.
Задача №2. Вневписанная окружность остроугольного треугольника $A B C$ касается стороны $B C$ в точке $D$, а продолжений сторон $A B$ и $A C$ в точках $E$ и $F$, соответственно. Точки $P$ и $Q$ - основания перпендикуляров, опущенных из точек $D$ и $F$ на прямые $A C$ и $B C$, соответственно. Прямые $D F$ и $P Q$ делят отрезок $A B$ на три равные части. Найдите $A B: B C: C A$ (соотношение сторон треугольника).
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №3. Пусть $s$ — сумма всех действительных корней уравнения $$ \frac{1}{1-x}+\frac{1}{1-2 x}+\ldots+\frac{1}{1-2026 x}=0. $$ Докажите, что $5{,}5 < s < 11$.
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №4. Множество точек на плоскости содержит 120 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Каждый отрезок, соединяющий две точки множества, покрашен в синий или жёлтый цвет. Известно, что существует такое разбиение этого множества на восемь подмножеств, что для любого из этих подмножеств любые две его точки соединены отрезком синего цвета. Также известно, что в любом таком разбиении все подмножества содержат ровно по пятнадцать точек. Какое наибольшее число отрезков может быть окрашено в синий цвет?
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №5. Существуют ли натуральное число $n$ и простые числа $p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{k}$, одновременно удовлетворяющие следующим двум условиям:
1) $n^{18}+n^{17}+n^{13}+n^{12}+n^{11}+n^{10}+n^{7}+n^{2}+1=p_{1} \cdot p_{2} \cdot \ldots \cdot p_{k}$;
2) $p_{i} \neq p_{j}$ для любых неравных $i, j$?
комментарий/решение(1)
1) $n^{18}+n^{17}+n^{13}+n^{12}+n^{11}+n^{10}+n^{7}+n^{2}+1=p_{1} \cdot p_{2} \cdot \ldots \cdot p_{k}$;
2) $p_{i} \neq p_{j}$ для любых неравных $i, j$?
комментарий/решение(1)