Юниорская олимпиада по математике. Заключительный этап. 2025-2026 учебный год. 8 класс.

Решите уравнение $(x!-x)^{2}=y!+y$ в натуральных числах.

Комментарий/решение

О ема так быстро

Короче при х меньше 4 то подойдет 3;3

При \(x = 3, y = 3\) получаем верное равенство: \((3! - 3)^2 = 3! + 3 \implies 9 = 9\).При остальных значениях решений в натуральных числах нет по следующим вещям:Если \(y < x\) (для \(x \ge 4\)), то максимум правой части равен \((x-1)! + x - 1\). Левая часть \((x! - x)^2\) при этом строго больше правой (например, при \(x=4\) получаем \(400 > 9\)).Если \(y = x\) (для \(x \ge 4\)), то после подстановки и деления на \(x\) уравнение принимает вид \(x((x-1)! - 1)^2 = (x-1)! + 1\). При \(x = 4\) получаем \(100 \neq 7\), а при \(x > 4\) левая часть всегда строго больше правой.Для х=1;2;3 можно легко проверить просто хотел максимально коротко написать

​(x! - x)^2 = y! + y, где x, y - натуральные числа.

​Так как y! + y >= 2, то x не равен 1 и 2.

​Если x = 3 => 9 = y! + y => y = 3.

​Если x >= 4 => рассмотрим 3 случая: 1) x = y, 2) x < y, 3) x > y.

​x = y:

(y! - y)^2 = y! + y

(y!)^2 - 2 * y! * y + y^2 = y! + y

(y!)^2 - 2 * y! * y = y! + y - y^2

y! * (y - 1)! - 2 * y! = (y - 1)! + 1 - y

​Докажем неравенство:

y! * (y - 1)! - 2 * y! > (y - 1)!

y! * (y - 1)! > (y - 1)! + 2 * y!

y! * (y - 1)! > (y - 1)! * (1 + 2y)

y! > 1 + 2y

y! - 2y > 1

y * ((y - 1)! - 2) > 1

​Так как (y - 1)! >= 6 при y >= 4, то (y - 1)! - 2 >= 4 =>

y * ((y - 1)! - 2) >= 16 > 1 (верно).

​Отсюда:

y! * (y - 1)! - 2 * y! > (y - 1)! > (y - 1)! + 1 - y (решений нет).

​x < y:

(x! - x)^2 = y! + y (по модулю x) =>

0 = 0 + y (по модулю x) => x делит y.

​Так как y>x то y >= 2x.

​Сравним левую и правую части:

(x! - x)^2 = (x!)^2 - 2 * x * x! + x^2

​При y >= 2x имеем y! + y >= (2x)! + 2x.

​Запишем суммы:

R1 = (x!)^2

R2 = x^2

L1 = (2x)!

L2 = 2 * x * x! + 2x

​Так как R1 < L1 и R2 < L2, то R1 + R2 < L1 + L2 =>

Левая часть < Правая часть (решений нет).

​x > y:

Так как x > y, то x >= y + 1.

​Оцениваем наименьшее значение левой части при x = y + 1:

((y + 1)! - (y + 1))^2 = y! + y

((y + 1)!)^2 - 2 * (y + 1)! * (y + 1) + (y + 1)^2 = y! + y

((y + 1)!)^2 + (y + 1)^2 = y! + y + 2 * (y + 1)! * (y + 1)

​Докажем неравенство:

((y + 1)!)^2 > y! + 2 * (y + 1)! * (y + 1)

​Так как (y + 1)! = (y + 1) * y!:

(y + 1) * (y + 1)! > 1 + 2 * (y + 1)^2

(y + 1)! + 4 * (y + 1)! > 1 + 2 * (y + 1)^2

4 * (y + 1)! > 2 * (y + 1)^2

2 * (y + 1)! > (y + 1)^2

2 * y! > y + 1

2 * y! - y > 1

y * (2 * (y - 1)! - 1) > 1

​Так как 2 * (y - 1)! >= 2 => y * (2 * (y - 1)! - 1) > 1 (верно).

​Следовательно:

Левая часть > Правая часть (решений нет).

​Ответ: (3, 3)

Sinister foid annihilation