Юниорская олимпиада по математике. Заключительный этап. 2025-2026 учебный год. 8 класс.

Решите уравнение $(x!-x)^{2}=y!+y$ в натуральных числах.

Комментарий/решение

О ема так быстро

Короче при х меньше 4 то подойдет 3;3

При \(x = 3, y = 3\) получаем верное равенство: \((3! - 3)^2 = 3! + 3 \implies 9 = 9\).При остальных значениях решений в натуральных числах нет по следующим вещям:Если \(y < x\) (для \(x \ge 4\)), то максимум правой части равен \((x-1)! + x - 1\). Левая часть \((x! - x)^2\) при этом строго больше правой (например, при \(x=4\) получаем \(400 > 9\)).Если \(y = x\) (для \(x \ge 4\)), то после подстановки и деления на \(x\) уравнение принимает вид \(x((x-1)! - 1)^2 = (x-1)! + 1\). При \(x = 4\) получаем \(100 \neq 7\), а при \(x > 4\) левая часть всегда строго больше правой.Для х=1;2;3 можно легко проверить просто хотел максимально коротко написать