Юниорская олимпиада по математике. Заключительный этап. 2025-2026 учебный год. 8 класс.

Существуют ли натуральное число $n$ и простые числа $p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{k}$, одновременно удовлетворяющие следующим двум условиям:
   1) $n^{18}+n^{17}+n^{13}+n^{12}+n^{11}+n^{10}+n^{7}+n^{2}+1=p_{1} \cdot p_{2} \cdot \ldots \cdot p_{k}$;
   2) $p_{i} \neq p_{j}$ для любых неравных $i, j$?

Комментарий/решение

Короче

$$LHS=(n^{11}+n^{10}+1)(n^7+n^2+1)$$

Правая скобка

$$(n(n-1)(n^3+1)+1)(n^2+n+1)$$

Левая

$$(n^9-n^7+n^6-n^4+n^3-n+1)(n^2+n+1)$$

Тогда обе делятся на n^2+n+1, отсюда противоречие