Юниорская олимпиада по математике. Заключительный этап. 2025-2026 учебный год. 8 класс.

Вневписанная окружность остроугольного треугольника $A B C$ касается стороны $B C$ в точке $D$, а продолжений сторон $A B$ и $A C$ в точках $E$ и $F$, соответственно. Точки $P$ и $Q$ - основания перпендикуляров, опущенных из точек $D$ и $F$ на прямые $A C$ и $B C$, соответственно. Прямые $D F$ и $P Q$ делят отрезок $A B$ на три равные части. Найдите $A B: B C: C A$ (соотношение сторон треугольника).

Комментарий/решение

Интересно было бы увидеть решение

1) $CD=CF$ как касательные, откуда $DPQF$ - равнобедренная трапеция, из-за того что $DF,PQ$ делят $AB$ на три равные части, откуда из параллельности $DF || PQ$ получается $BD=DQ, \ AP=PF$ значит $AD=FD$, так же из того что $PF=DQ$ как диагонали трапеции, но тогда $BD=DQ=PF=AP$ значит $BD=BE$ но так как $AE=AF$ тогда $AB=BD=BE=AP$.

2) Пусть $AB=BD=BE=AP=x, \ CP=y, \ CF = CD = x-y$ тогда $AD^2 = x^2+(x-y)^2-y^2$ тогда по формуле Стюарта: $$AD^2 = x^2+(x-y)^2-y^2 = x^2 \cdot \dfrac{x-y}{2x-y} + (x+y)^2 \cdot \dfrac{x}{2x-y} - x(x-y)$$

Если преобразовать : $\dfrac{2x(2x^2-5xy+y^2)}{2x-y} = 0$

учитывая что $x>y$

$$2x^2-5xy+y^2 = 0 \ : y^2$$

$$2(\dfrac{x}{y})^2-5\cdot \dfrac{x}{y} + 1 = 0$$

$$\dfrac{x}{y}=t$$

$$2t^2-5t+1=0$$

$$D=25-8=17$$

$$t=\dfrac{5+\sqrt{17}}{4}$$

$$x=\dfrac{5+\sqrt{17}}{4} \cdot y$$

Подставляя: $\boxed{AB:BC:CA = x: (2x-y) : (x+y) = (5+\sqrt{17}) : (6+2\sqrt{17}) : (9+\sqrt{17})}$