қазақша
русскийЮниорская олимпиада по математике. Заключительный этап. 2025-2026 учебный год. 7 класс.
Задача №1. Решите систему уравнений в действительных числах $$ \left\{ \begin{gathered} |x|+y+z=1,\\ x+|y|+z=2, \\ x+y+|z|=3. \\ \end{gathered} \right.$$
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №2. а) Прямая делит правильный 2026-угольник на два многоугольника равного периметра. Верно ли, что она обязательно проходит через его центр?
b) Прямая делит правильный 2026-угольник на два многоугольника равной площади. Верно ли, что она обязательно проходит через его центр?
комментарий/решение
b) Прямая делит правильный 2026-угольник на два многоугольника равной площади. Верно ли, что она обязательно проходит через его центр?
комментарий/решение
Задача №3. Докажите, что для любого простого числа $p$ справедливо неравенство $\left|30^{1004}-p\right| \geq 11$.
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №4. Множество точек на плоскости содержит 120 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Каждый отрезок, соединяющий две точки множества, покрашен в синий или жёлтый цвет. Известно, что существует такое разбиение этого множества на восемь подмножеств, что для любого из этих подмножеств любые две его точки соединены отрезком синего цвета. Также известно, что в любом таком разбиении все подмножества содержат ровно по пятнадцать точек. Какое наибольшее число отрезков может быть окрашено в синий цвет?
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №5. Существуют ли натуральное число $n$ и простые числа $p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{k}$, одновременно удовлетворяющие следующим двум условиям:
1) $n^{18}+n^{17}+n^{13}+n^{12}+n^{11}+n^{10}+n^{7}+n^{2}+1=p_{1} \cdot p_{2} \cdot \ldots \cdot p_{k}$;
2) $p_{i} \neq p_{j}$ для любых неравных $i, j$?
комментарий/решение
1) $n^{18}+n^{17}+n^{13}+n^{12}+n^{11}+n^{10}+n^{7}+n^{2}+1=p_{1} \cdot p_{2} \cdot \ldots \cdot p_{k}$;
2) $p_{i} \neq p_{j}$ для любых неравных $i, j$?
комментарий/решение