Юниорская олимпиада по математике. Заключительный этап. 2025-2026 учебный год. 7 класс.

Решите систему уравнений в действительных числах $$ \left\{ \begin{gathered} |x|+y+z=1,\\ x+|y|+z=2, \\ x+y+|z|=3. \\ \end{gathered} \right.$$

Комментарий/решение

Назовем их 1;2;3 уравнениями

Вычтем уравнения друг из друга, чтобы избавиться от диофантовых гробов:Вычтем (1) из (2):\((x-|x|)+(|y|-y)=1\implies (|y|-y)-(|x|-x)=1\)Вычтем (2) из (3):\((y-|y|)+(|z|-z)=1\implies (|z|-z)-(|y|-y)=1\)Определим знаки .так же Свойство модуля: величина \((|t| - t)\) всегда \(\ge 0\). Причем она равна \(0\), если \(t \ge 0\), и равна \(-2t\), если \(t < 0\).Пусть \(A = |x| - x\), \(B = |y| - y\), \(C = |z| - z\). Тогда:\(B-A=1\implies B=A+1\ge 1>0\)\(C-B=1\implies C=B+1\ge 2>0\)Так как \(B > 0\) и \(C > 0\), то \(y\) и \(z\) обязаны быть строго отрицательными (\(y < 0, z < 0\)).Значит, \(|y| = -y \implies B = -2y\), а \(|z| = -z \implies C = -2z\).Рассмотрим знак \(x\):Если \(x < 0\), то \(A = -2x > 0\). Тогда модули всех трех переменных раскрываются со знаком минус. Сложив уравнения (1) и (2) в таком случае, мы получим:\((-x+y+z) + (x-y+z) = 1 + 2 \implies 2z = 3 \implies z = 1.5\), что противоречит условию \(z < 0\).Если \(x \ge 0\), то \(A = |x| - x = 0\).Находим численные значения:Так как \(A = 0\), то \(B = A + 1 = 1 \implies -2y = 1 \implies y = -0.5\).\(C = B + 1 = 2 \implies -2z = 2 \implies z = -1\).Подставим \(y\) и \(z\) в первое уравнение (1):\(x-0.5-1=1\implies x=2.5\)