Юниорская олимпиада по математике. Заключительный этап. 2025-2026 учебный год. 7 класс.

Существуют ли натуральное число $n$ и простые числа $p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{k}$, одновременно удовлетворяющие следующим двум условиям:
   1) $n^{18}+n^{17}+n^{13}+n^{12}+n^{11}+n^{10}+n^{7}+n^{2}+1=p_{1} \cdot p_{2} \cdot \ldots \cdot p_{k}$;
   2) $p_{i} \neq p_{j}$ для любых неравных $i, j$?

Комментарий/решение

n¹⁸+n¹⁷+n¹³+n¹²+n¹¹+n¹⁰+n⁷+n²+1=(n¹¹+n¹⁰+1)(n⁷+n²+1)

n¹¹+n¹⁰+1=n⁹n²+n⁹n+1

=n⁹n² -n² +n⁹n -n +n² +n +1

=n²(n⁹-1)+n(n⁹-1)+n²+n+1

Заметим что n⁹-1 делиться на n³-1 то есть на (n²+n+1) ведь n⁹-1 это формула разности кубов.

Значит n²(n⁹-1)+n(n⁹-1)+n²+n+1 делиться на n²+n+1

n⁷+n²+1=n⁶n -n +n² +n +1=

n(n⁶-1)+n²+n+1

Заметим что n⁶-1 делиться на n³-1 то есть n²+n+1 по формуле разности квадратов.Значит и n(n⁶-1)+n²+n+1 делиться на n²+n+1.

Тогда (n¹¹+n¹⁰+1)(n⁷+n²+1) делиться на (n²+n+1)²,Противоречие изза того что оно состоит из двух множителей которые равны друг-другу а в условии сказано что все простые множители не равны друг другу