қазақша
русскийЮниорская олимпиада по математике. Районный этап. 2025-2026 учебный год. 8 класс.
Задача №1. Туристический клуб отправился в поход в 12:00. Участники шли по ровной дороге со скоростью 4 км/ч; вверх по горной тропе со скоростью 3 км/ч; сразу же вниз по горной тропе со скоростью 6 км/ч, и вернулись домой по ровной дороге, снова со скоростью 4 км/ч. Они вернулись в 18:00. Какое расстояние прошел клуб в походе?
A) 12 км
B) 18 км
C) 24 км
D) 30 км
E) 36 км
комментарий/решение
A) 12 км
B) 18 км
C) 24 км
D) 30 км
E) 36 км
комментарий/решение
Задача №2. Две свечи одинаковой длины зажигают в 20:00. Одна свеча полностью сгорает за 6 часов, а другая — за 3 часа. В какое время одна свеча будет ровно в два раза длиннее другой?
A) $20: 30$
B) $22: 00$
C) $21: 00$
D) $21: 30$
E) $21: 10$
комментарий/решение
A) $20: 30$
B) $22: 00$
C) $21: 00$
D) $21: 30$
E) $21: 10$
комментарий/решение
Задача №3. Как показано на рисунке, прямые $AB$ и $CD$ параллельны, при этом $\angle ABC=40^{\circ}$ и $\angle ADE=145^{\circ}$. Найдите величину угла $\angle AOC$.
A) $90^{\circ}$
B) $72^{\circ}$
C) $45^{\circ}$
D) $30^{\circ}$
E) $75^{\circ}$
комментарий/решение
A) $90^{\circ}$
B) $72^{\circ}$
C) $45^{\circ}$
D) $30^{\circ}$
E) $75^{\circ}$
комментарий/решение
Задача №4. Если $f(x)=x^{2}+3$, найдите $f(x+2)$.
A) $x^{2}+4 x+3$
B) $x^{2}+4 x+7$
C) $x^{2}+4$
D) $x^{2}+2 x+3$
E) $x^{2}+2 x+4$
комментарий/решение
A) $x^{2}+4 x+3$
B) $x^{2}+4 x+7$
C) $x^{2}+4$
D) $x^{2}+2 x+3$
E) $x^{2}+2 x+4$
комментарий/решение
Задача №5. В данном ряду чисел $5,11,23,?, 95,191$ пропущено четвертое число. Найдите сумму цифр этого пропущенного числа.
A) 5
B) 11
C) 12
D) 14
E) дұрыс жауап көрсетілемеген / правильный ответ не указан
комментарий/решение
A) 5
B) 11
C) 12
D) 14
E) дұрыс жауап көрсетілемеген / правильный ответ не указан
комментарий/решение
Задача №6. Мошенник дал продавцу 10000 тенге, чтобы купить шапку стоимостью 8500 тенге (продавец вернул ему 1500 тенге). Позже он снова зашёл в тот же магазин и купил книгу за 2000 тенге, расплатившись купюрой в 5000 тенге, за что получил 3000 тенге сдачи. Через час продавец обнаружил, что все деньги, которыми расплачивался мошенник, были поддельными. Если себестоимость шапки составляет 4500 тенге, а себестоимость книги — 1300 тенге (прибыль не учитывается), то каков общий ущерб, понесённый магазином?
A) 23500
B) 10300
C) 5800
D) 22000
E) 15000
комментарий/решение
A) 23500
B) 10300
C) 5800
D) 22000
E) 15000
комментарий/решение
Задача №7. Известно, что $25!=1551121004333098^{*} 984000000$. Найдите цифру, заменённую звездочкой.
A) 3
B) 6
C) 9
D) 5
E) 7
комментарий/решение
A) 3
B) 6
C) 9
D) 5
E) 7
комментарий/решение
Задача №8. Дана функция $f(x)=2^{x}$. Вычислите сумму: $f(1)+f(2)+\cdots +f(2025)$.
A) $2^{2026}-1$
B) $2^{2025}-1$
C) $2^{2026}+2$
D) $4^{1013}-2$
E) $4^{2025}+3$
комментарий/решение
A) $2^{2026}-1$
B) $2^{2025}-1$
C) $2^{2026}+2$
D) $4^{1013}-2$
E) $4^{2025}+3$
комментарий/решение
Задача №9. Стороны треугольника равны 8 см, 15 см и 17 см. Найдите величину угла, лежащего напротив наибольшей стороны этого треугольника.
A) $120^{\circ}$
B) $70^{\circ}$
C) $90^{\circ}$
D) $135^{\circ}$
E) $72^{\circ}$
комментарий/решение
A) $120^{\circ}$
B) $70^{\circ}$
C) $90^{\circ}$
D) $135^{\circ}$
E) $72^{\circ}$
комментарий/решение
Задача №10. Сколько различных 8-значных чисел (включая само это число) можно составить перестановкой цифр числа 22532141?
A) 3360
B) 4048
C) 2026
D) 2024
E) 720
комментарий/решение
A) 3360
B) 4048
C) 2026
D) 2024
E) 720
комментарий/решение
Задача №11. У Армана уроки начались в 8:00 утра. В школе он провёл 7 часов, а дорога домой заняла ещё 30 минут. Найдите величину угла между часовой и минутной стрелками часов в тот момент, когда Арман пришёл домой.
A) $0^{\circ}$
B) $20^{\circ}$
C) $60^{\circ}$
D) $75^{\circ}$
E) $15^{\circ}$
комментарий/решение
A) $0^{\circ}$
B) $20^{\circ}$
C) $60^{\circ}$
D) $75^{\circ}$
E) $15^{\circ}$
комментарий/решение
Задача №12. Дана функция $f(x)=ax^{2}+bx+c$. Если известно, что $f(0)=1$ и $f(2)=2$, то найдите значение выражения $2 a+b-c$.
A) 3
B) -1
C) 0
D) 2
E) $-\frac{1}{2}$
комментарий/решение
A) 3
B) -1
C) 0
D) 2
E) $-\frac{1}{2}$
комментарий/решение
Задача №13. Арман с помощью весов определил, что масса одной книги и одной тетради равна массе одной сумки. Масса одной книги равна массе одной ручки и одной тетради, а масса трёх ручек равна массе одной тетради. Тогда массе скольких ручек равна масса одной сумки?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
комментарий/решение
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
комментарий/решение
Задача №14. На окружности отмечены 7 точек. Сколько треугольников можно построить, выбрав вершины из этих точек?
A) 10
B) 35
C) 21
D) 24
E) 20
комментарий/решение
A) 10
B) 35
C) 21
D) 24
E) 20
комментарий/решение
Задача №15. Шкафчики в средней школе №700 пронумерованы с 1 по 700. Начиная счет со шкафчика 1, каждый шестой шкафчик имеет синюю наклейку, каждый девятый шкафчик имеет желтую наклейку, и каждый десятый шкафчик имеет зеленую наклейку. Сколько шкафчиков имеют все три наклейки?
A) 3
B) 4
C) 7
D) 8
E) 9
комментарий/решение
A) 3
B) 4
C) 7
D) 8
E) 9
комментарий/решение
Задача №16. Дана функция $f(x)=2 x^{2}-x+3$. Найдите значение выражения $f(f(f(2)))$.
A) 48519
B) 2028
C) 98491
D) 98127
E) 38901
комментарий/решение
A) 48519
B) 2028
C) 98491
D) 98127
E) 38901
комментарий/решение
Задача №17. Дан квадрат и окружность. Периметр квадрата равен длине данной окружности. Найдите отношение радиуса окружности, вписанной в квадрат, к радиусу данной окружности.
A) 1
B) $\frac{\pi}{4}$
C) 0,5
D) $\frac{\pi}{2}$
E) 2
комментарий/решение
A) 1
B) $\frac{\pi}{4}$
C) 0,5
D) $\frac{\pi}{2}$
E) 2
комментарий/решение
Задача №18. Сколько существует пар целых чисел $(a, b)$, удовлетворяющих условиям: $a+b > a \cdot b$ и $-200 \leq a, b \leq 100$?
A) 40399
B) 40400
C) 40398
D) 40000
E) 2303
комментарий/решение
A) 40399
B) 40400
C) 40398
D) 40000
E) 2303
комментарий/решение
Задача №19. Известно, что для простых чисел $p, q, r$ разности $p-q, p-r, q-r$ также являются простыми числами. Найдите значение суммы $p+2 q+3 r$.
A) 20
B) 17
C) 23
D) 19
E) 21
комментарий/решение
A) 20
B) 17
C) 23
D) 19
E) 21
комментарий/решение
Задача №20. Все ученики, готовившиеся к Новому году, одеты в красное. Только одна треть из всех, кто одет в красное, — это ученики. Ровно половина организаторов одета в красное. По имеющейся информации, известно, что ровно один ученик является также организатором, и ровно 8 организаторов одеты в красное. Если общее количество людей в красном составляет 90, то сколько человек, кроме учеников и организаторов, одеты в красное?
A) 45
B) 38
C) 37
D) 52
E) 53
комментарий/решение
A) 45
B) 38
C) 37
D) 52
E) 53
комментарий/решение
Задача №21. Найдите количество решений уравнения $|4-x|+|x-3|=3$ в множестве действительных чисел.
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
комментарий/решение
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
комментарий/решение
Задача №22. Дан треугольник $ABC$, в котором $AB=AC$ и $\angle BAC=90^{\circ}$. На стороне $BC$ взяты точки $D$ и $E$ так, что $\angle DAE=45^{\circ}$. Если $BD=12$ и $EC=16$, то чему равна площадь треугольника $ABC$?
A) 512
B) 288
C) 256
D) 576
E) 96
комментарий/решение
A) 512
B) 288
C) 256
D) 576
E) 96
комментарий/решение
Задача №23. Известно, что для составных чисел $p, q$ выполняется равенство $3 p+5 q=69$. Найдите значение дроби $\frac{p}{3 q+1}$.
A) $\frac{1}{2}$
B) $\frac{1}{3}$
C) $\frac{2}{5}$
D) $\frac{2}{7}$
E) $\frac{3}{8}$
комментарий/решение
A) $\frac{1}{2}$
B) $\frac{1}{3}$
C) $\frac{2}{5}$
D) $\frac{2}{7}$
E) $\frac{3}{8}$
комментарий/решение
Задача №24. Даны ненулевые числа $x, y, z$, такие что $\frac{x}{3}=\frac{y}{4}=\frac{z}{5}$. Найдите значение выражения $\frac{xy-2 yz+xz}{x^{2}-2 y^{2}+z^{2}}$.
A) $-\frac{11}{14}$
B) $-\frac{14}{11}$
C) 0
D) $\frac{11}{14}$
E) $-\frac{13}{2}$
комментарий/решение
A) $-\frac{11}{14}$
B) $-\frac{14}{11}$
C) 0
D) $\frac{11}{14}$
E) $-\frac{13}{2}$
комментарий/решение
Задача №25. Арман задумал одно натуральное число. У этого числа 8 натуральных делителей (включая 1 и само число). Если задуманное Арманом число делится на 143 и на 33, найдите сумму всех его натуральных делителей.
A) 672
B) 143
C) 4719
D) 429
E) 176
комментарий/решение
A) 672
B) 143
C) 4719
D) 429
E) 176
комментарий/решение
Задача №26. Вычислите сумму: $$ \frac{2+3+\cdots +300}{1}+\frac{3+4+\cdots +300}{1+2}+\cdots +\frac{299+300}{1+2+\cdots +298}+\frac{300}{1+2+\cdots +299}.$$
A) 85933
B) 89700
C) 45023
D) 301293
E) 94204
комментарий/решение
A) 85933
B) 89700
C) 45023
D) 301293
E) 94204
комментарий/решение
Задача №27. Найдите остаток от деления суммы $1 \cdot 2 \cdot 3+2 \cdot 3 \cdot 4+3 \cdot 4 \cdot 5+\cdots +2021 \cdot 2022 \cdot 2023$ на 2025.
A) 0
B) 1013
C) 6
D) 1012
E) 310
комментарий/решение
A) 0
B) 1013
C) 6
D) 1012
E) 310
комментарий/решение
Задача №28. Найдите сумму всех действительных решений уравнения $\left(x^{2}-5 x+5\right)^{x^{2}-8 x+15}=1$.
A) 13
B) 7
C) 5
D) 8
E) 0
комментарий/решение
A) 13
B) 7
C) 5
D) 8
E) 0
комментарий/решение
Задача №29. Сколько существует троек неотрицательных целых чисел ($a, b, c$), удовлетворяющих уравнению $2^{a}-2^{b}-2^{c}=1023$?
A) 5
B) 3
C) 6
D) 4
E) 2
комментарий/решение
A) 5
B) 3
C) 6
D) 4
E) 2
комментарий/решение
Задача №30. Прямоугольник $ABCD$ вписан в окружность. На дуге $AB$, не содержащей точек $C$ и $D$, взята точка $P$ такая, что $\angle BAP=36^{\circ}$. Из точки $P$ опущены перпендикуляры на прямые $AB, AC, BD$ основания которых обозначим $I, Q, R$ соответственно. Тогда, найдите значение $\angle IQR$.
A) $36^{\circ}$
B) $30^{\circ}$
C) $45^{\circ}$
D) $72^{\circ}$
E) $54^{\circ}$
комментарий/решение
A) $36^{\circ}$
B) $30^{\circ}$
C) $45^{\circ}$
D) $72^{\circ}$
E) $54^{\circ}$
комментарий/решение