қазақша
русскийЮниорская олимпиада по математике. Районный этап. 2025-2026 учебный год. 8 класс.
Есеп №1. Туристік клуб түскі сағат 12:00-де жолға шықты. Қатысушылар тегіс жолмен тұрақты 4 км/сағ жылдамдықпен жүрді; тау соқпағымен жоғары 3 км/сағ жылдамдықпен көтерілді; сол тау соқпағымен бірден төмен 6 км/сағ жылдамдықпен түсті және үйге тегіс жолмен қайта 4 км/сағ жылдамдықпен оралды. Олар сағат 18:00-де қайтып келді. Клуб жалпы қанша қашықтықты жүріп өтті?
A) 12 км
B) 18 км
C) 24 км
D) 30 км
E) 36 км
комментарий/решение
A) 12 км
B) 18 км
C) 24 км
D) 30 км
E) 36 км
комментарий/решение
Есеп №2. Ұзындығы бірдей екі шам 20:00-де жағылды. Бірінші шамның толық жануына 6 сағат қажет, ал екіншісі — 3 сағатта толық жанады. Қай уақытта бір шамның ұзындығы екіншісінен дәл екі есе ұзын болады?
A) $20: 30$
B) $22: 00$
C) $21: 00$
D) $21: 30$
E) $21: 10$
комментарий/решение
A) $20: 30$
B) $22: 00$
C) $21: 00$
D) $21: 30$
E) $21: 10$
комментарий/решение
Есеп №3. Суретте көрсетілгендей, AB мен CD түзулері өзара параллель, $\angle ABC=40^{\circ}$ және $\angle ADE=145^{\circ}$. $\angle AOC$ бұрышының мәнін табыңыз.
A) $90^{\circ}$
B) $72^{\circ}$
C) $45^{\circ}$
D) $30^{\circ}$
E) $75^{\circ}$
комментарий/решение
A) $90^{\circ}$
B) $72^{\circ}$
C) $45^{\circ}$
D) $30^{\circ}$
E) $75^{\circ}$
комментарий/решение
Есеп №4. $f(x)=x^{2}+3$ болса, $f(x+2)$-ні табыңыз.
A) $x^{2}+4 x+3$
B) $x^{2}+4 x+7$
C) $x^{2}+4$
D) $x^{2}+2 x+3$
E) $x^{2}+2 x+4$
комментарий/решение
A) $x^{2}+4 x+3$
B) $x^{2}+4 x+7$
C) $x^{2}+4$
D) $x^{2}+2 x+3$
E) $x^{2}+2 x+4$
комментарий/решение
Есеп №5. Берілген қатардағы $5,11,23,?, 95,191$ төртінші сан жазылмаған. Осы жазылмай қалған санның цифрларының қосындысын табыңыз.
A) 5
B) 11
C) 12
D) 14
E) дұрыс жауап көрсетілемеген / правильный ответ не указан
комментарий/решение
A) 5
B) 11
C) 12
D) 14
E) дұрыс жауап көрсетілемеген / правильный ответ не указан
комментарий/решение
Есеп №6. Алаяқ 8500 теңге тұратын бас киімді сатып алу үшін сатушыға 10000 теңге берді (сатушы 1500 теңге қайтарды). Кейіннен ол, сол дүкенге қайта кіріп 2000 теңге тұратын кітап алды. Бұл жолы ол 5000 теңге ақша берді және сатушы оған 3000 теңге қайтарды. Алаяқтың берген ақшасы жалған екенін сатушы 1 сағаттан кейін байқады. Егер пайданы есептемегенде, бас киімнің өзіндік құны 4500 теңге, ал кітаптың өзіндік құны 1300 теңге болса, дүкенге қанша шығын келді?
A) 23500
B) 10300
C) 5800
D) 22000
E) 15000
комментарий/решение
A) 23500
B) 10300
C) 5800
D) 22000
E) 15000
комментарий/решение
Есеп №7. 25!=1551121004333098*984000000 екені белгілі. Жұлдызшаның орынындағы цифрды табыңыз.
A) 3
B) 6
C) 9
D) 5
E) 7
комментарий/решение
A) 3
B) 6
C) 9
D) 5
E) 7
комментарий/решение
Есеп №8. $f(x)=2^{x}$ функциясы берілген. Қосындыны есептеңіз: $f(1)+f(2)+\cdots +f(2025).$
A) $2^{2026}-1$
B) $2^{2025}-1$
C) $2^{2026}+2$
D) $4^{1013}-2$
E) $4^{2025}+3$
комментарий/решение
A) $2^{2026}-1$
B) $2^{2025}-1$
C) $2^{2026}+2$
D) $4^{1013}-2$
E) $4^{2025}+3$
комментарий/решение
Есеп №9. Үшбұрыштың қабырғалары 8 см, 15 см және 17 см. Осы үшбұрыштың үлкен қабырғасына қарсы жатқан бұрыштың мәнін табыңыз.
A) $120^{\circ}$
B) $70^{\circ}$
C) $90^{\circ}$
D) $135^{\circ}$
E) $72^{\circ}$
комментарий/решение
A) $120^{\circ}$
B) $70^{\circ}$
C) $90^{\circ}$
D) $135^{\circ}$
E) $72^{\circ}$
комментарий/решение
Есеп №10. 22532141 санының цифрларының орындарын ауыстыру арқылы неше 8 таңбалы (осы санды қоса есептегенде) сан құрауға болады?
A) 3360
B) 4048
C) 2026
D) 2024
E) 720
комментарий/решение
A) 3360
B) 4048
C) 2026
D) 2024
E) 720
комментарий/решение
Есеп №11. Арманның сабағы таңғы 08:00-де басталды. Ол мектепте 7 сағат болды және мектептен үйге келгенше тағы 30 минут кетті. Арман үйге келген кездегі сағаттың минуттық тілі мен сағаттық тілінің арасындағы бұрыштың өлшемін табыңыз.
A) $0^{\circ}$
B) $20^{\circ}$
C) $60^{\circ}$
D) $75^{\circ}$
E) $15^{\circ}$
комментарий/решение
A) $0^{\circ}$
B) $20^{\circ}$
C) $60^{\circ}$
D) $75^{\circ}$
E) $15^{\circ}$
комментарий/решение
Есеп №12. $f(x)=ax^{2}+bx+c$ функциясы берілген. Егер $f(0)=1$, және $f(2)=2$ болса, $2 a+b-c$ өрнегінің мәнін табыңыз.
A) 3
B) -1
C) 0
D) 2
E) $-\frac{1}{2}$
комментарий/решение
A) 3
B) -1
C) 0
D) 2
E) $-\frac{1}{2}$
комментарий/решение
Есеп №13. Арман таразының көмегімен, бір кітап пен бір дәптердің массасы бір сөмкенің массасына тең екенін анықтады. Бір кітаптың өзі бір қалам мен бір дәптердің массасына тең, ал үш қаламның массасы бір дәптердің массасына тең. Онда бір сөмкенің массасы неше қаламның массасына тең?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
комментарий/решение
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
комментарий/решение
Есеп №14. Шеңбер бойынан 7 нүкте белгіленген. Төбелері белгіленген нүктелер болатын неше үшбұрыш бар?
A) 10
B) 35
C) 21
D) 24
E) 20
комментарий/решение
A) 10
B) 35
C) 21
D) 24
E) 20
комментарий/решение
Есеп №15. №700 орта мектебінде шкафтар 1-ден 700-ге дейін нөмірленген. 1-ші шкафтан бастап санағанда, әрбір алтыншы шкафта көк жапсырма, әрбір тоғызыншы шкафта сары жапсырма және әрбір оныншы шкафта жасыл жапсырма бар. Барлық үш жапсырмасы бар қанша шкаф бар?
A) 3
B) 4
C) 7
D) 8
E) 9
комментарий/решение
A) 3
B) 4
C) 7
D) 8
E) 9
комментарий/решение
Есеп №16. $f(x)=2 x^{2}-x+3$ функциясы берілген. $f(f(f(2)))$ мәнін есептеңіз.
A) 48519
B) 2028
C) 98491
D) 98127
E) 38901
комментарий/решение
A) 48519
B) 2028
C) 98491
D) 98127
E) 38901
комментарий/решение
Есеп №17. Шаршы мен шеңбер берілген. Шаршының периметрі мен шеңбердің ұзындығы тең. Осы шаршыға іштей сызылған шеңбер радиусының берілген шеңбер радиусына қатынасын табыңыз.
A) 1
B) $\frac{\pi}{4}$
C) 0,5
D) $\frac{\pi}{2}$
E) 2
комментарий/решение
A) 1
B) $\frac{\pi}{4}$
C) 0,5
D) $\frac{\pi}{2}$
E) 2
комментарий/решение
Есеп №18. $a+b > a \cdot b$ және $-200 \leq a, b \leq 100$ болатын қанша $(a, b)$ бүтін сандар жұбы бар?
A) 40399
B) 40400
C) 40398
D) 40000
E) 2303
комментарий/решение
A) 40399
B) 40400
C) 40398
D) 40000
E) 2303
комментарий/решение
Есеп №19. $p, q, r$ жай сандары үшін, $p-q, p-r, q-r$ сандары да жай сандар екені белгілі. Онда, $p+2 q+ 3 r$ қосындысының мәнін табыңыз.
A) 20
B) 17
C) 23
D) 19
E) 21
комментарий/решение
A) 20
B) 17
C) 23
D) 19
E) 21
комментарий/решение
Есеп №20. Жаңа жылға дайындалған оқушылардың бәрі қызыл киінген. Қызыл киінгендердің тек үштен бірі ғана оқушылар. Ұйымдастырушылардың дәл жартысы қызыл киініп жүр. Алынған ақпарат бойынша дәл бір оқушы ұйымдастырушылар қатарында екені және дәл 8 ұйымдастырушы қызыл киінгені белгілі. Егер қызыл киім кигендер саны 90 болса, оқушылар мен ұйымдастырушылардан басқа қызыл киім киген неше адам бар?
A) 45
B) 38
C) 37
D) 52
E) 53
комментарий/решение
A) 45
B) 38
C) 37
D) 52
E) 53
комментарий/решение
Есеп №21. $|4-x|+|x-3|=3$ теңдеуінің нақты сандар жиынында қанша шешімі бар?
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
комментарий/решение
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
комментарий/решение
Есеп №22. Суретте көрсетілгендей, $AB=AC$ және $\angle BAC=90^{\circ}$ болатын $ABC$ үшбұрышы берілген. $\angle DAE=45^{\circ}$ болатындай, $D, E$ нүктелері $BC$ қабырғасынан алынған. Егер $BD=12$ және $EC=$ 16 болса, $ABC$ үшбұрышының ауданы нешеге тең?
A) 512
B) 288
C) 256
D) 576
E) 96
комментарий/решение
A) 512
B) 288
C) 256
D) 576
E) 96
комментарий/решение
Есеп №23. $p, q$ кұрама сандары үшін $3 p+5 q=69$ теңдігі орындалады. $\frac{p}{3 q+1}$ бөлшегінің мәнін табыңыз.
A) $\frac{1}{2}$
B) $\frac{1}{3}$
C) $\frac{2}{5}$
D) $\frac{2}{7}$
E) $\frac{3}{8}$
комментарий/решение
A) $\frac{1}{2}$
B) $\frac{1}{3}$
C) $\frac{2}{5}$
D) $\frac{2}{7}$
E) $\frac{3}{8}$
комментарий/решение
Есеп №24. $\frac{x}{3}=\frac{y}{4}=\frac{z}{5}$ болатын нөлге тең емес $x, y, z$ сандары берілген. $\frac{xy-2 yz+xz}{x^{2}-2 y^{2}+z^{2}}$ өрнегінің мәнін табыңыз.
A) $-\frac{11}{14}$
B) $-\frac{14}{11}$
C) 0
D) $\frac{11}{14}$
E) $-\frac{13}{2}$
комментарий/решение
A) $-\frac{11}{14}$
B) $-\frac{14}{11}$
C) 0
D) $\frac{11}{14}$
E) $-\frac{13}{2}$
комментарий/решение
Есеп №25. Арман бір натурал сан ойлады. Осы санның 8 натурал бөлгіші бар (1-ді және өзін қосқанда). Егер Арманның ойлаған саны 143 пен 33-ке бөлінетін болса, онда бұл санның барлық натурал бөлгіштерінің қосындысын табыңыз.
A) 672
B) 143
C) 4719
D) 429
E) 176
комментарий/решение
A) 672
B) 143
C) 4719
D) 429
E) 176
комментарий/решение
Есеп №26. Қосындыны есептеңіз: $$ \frac{2+3+\cdots +300}{1}+\frac{3+4+\cdots +300}{1+2}+\cdots +\frac{299+300}{1+2+\cdots +298}+\frac{300}{1+2+\cdots +299}.$$
A) 85933
B) 89700
C) 45023
D) 301293
E) 94204
комментарий/решение
A) 85933
B) 89700
C) 45023
D) 301293
E) 94204
комментарий/решение
Есеп №27. $1 \cdot 2 \cdot 3+2 \cdot 3 \cdot 4+3 \cdot 4 \cdot 5+\cdots +2021 \cdot 2022 \cdot 2023$ қосындысының мәнін 2025-ке бөлгендегі қалдықты табыңыз.
A) 0
B) 1013
C) 6
D) 1012
E) 310
комментарий/решение
A) 0
B) 1013
C) 6
D) 1012
E) 310
комментарий/решение
Есеп №28. $\left(x^{2}-5 x+5\right)^{x^{2}-8 x+15}=1$ теңдеуінің барлық нақты шешімдерінің қосындысын табыңыз.
A) 13
B) 7
C) 5
D) 8
E) 0
комментарий/решение
A) 13
B) 7
C) 5
D) 8
E) 0
комментарий/решение
Есеп №29. $2^{a}-2^{b}-2^{c}=1023$ теңдеуін қанағаттандыратын қанша $(a, b, c)$ теріс емес бүтін сандар үштігі бар?
A) 5
B) 3
C) 6
D) 4
E) 2
комментарий/решение
A) 5
B) 3
C) 6
D) 4
E) 2
комментарий/решение
Есеп №30. $ABCD$ тіктөртбұрышы шеңберге іштей сызылған. $C$ мен $D$ нүктелері жатпайтын $AB$ доғасынан $\angle BAP=36^{\circ}$ болатындай $P$ нүктесі алынған. $P$ нүктесінен $AB, AC, BD$ түзулеріне перпендикулярлар түсірілген, олардың табандарын сәйкес $I, Q, R$ нүктелері дейік. Онда, $\angle IQR$ дің мәнін табыңыз.
A) $36^{\circ}$
B) $30^{\circ}$
C) $45^{\circ}$
D) $72^{\circ}$
E) $54^{\circ}$
комментарий/решение
A) $36^{\circ}$
B) $30^{\circ}$
C) $45^{\circ}$
D) $72^{\circ}$
E) $54^{\circ}$
комментарий/решение