қазақша
русскийРайонная олимпиада, 2025-2026 учебный год, 11 класс
Есеп №1. $a+b=1$ болатын теріс емес $a, b$ нақты сандары берілген. Дәлелдеңіз: $$\frac{a^2+b^2}{2} \le a^3+b^3 \le a^2+b^2 .$$
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №2. $ABC$ үшбұрышының бұрыштарының биссектрисалары $BC$, $AC$ және $AB$ қабырғаларын сәйкес $D$, $E$ және $F$ нүктелерінде қияды. Осы үшбұрышқа іштей сызылған шеңбердің радиусы $r$, сырттай сызылған шеңбердің радиусы $R$ болсын. Келесі теңдікті дәлелдеңіз: $$\frac{1}{AB \cdot CE} + \frac{1}{BC \cdot AF} + \frac{1}{CA \cdot BD} = \frac{1}{r \cdot R}.$$
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №3. Азамат пен Асхат ойын ойнап жатыр. Олар кезекпен, Азаматтан бастап, ішінде $2025$ шар бар қораптан белгілі бір мөлшердегі шарларды алады. Әр жүрісте ойыншы қораптан $2^m$ шар алуы керек, мұндағы $m$ — теріс емес бүтін сан. Мысалы, ойыншы $1$ шар, $4$ шар немесе $32$ шар ала алады, бірақ $10$ шар ала алмайды, себебі $10$ саны $2$-нің дәрежесі емес. Қораптан соңғы шарды алған ойыншы жеңеді. Дұрыс ойында кім жеңетінін анықтаңыз?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №4. Натурал $x$ санының натурал бөлгіштерінің қосындысын $s(x)$ деп, ал натурал бөлгіштерінің санын $d(x)$ деп белгілейік, мысалы: $s(15)=1+3+5+15=24$, $d(15)= 4$, себебі 15-тің 4 натурал бөлгіштері бар: $\{1, 3, 5, 15\}$. $$s(x) \cdot d(x)=96$$ теңдеуінің барлық натурал шешімдерін табыңыз.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)