Районная олимпиада, 2025-2026 учебный год, 11 класс

Биссектрисы углов треугольника $ABC$ пересекают стороны $BC$, $AC$ и $AB$ в точках $D$, $E$ и $F$ соответственно. Пусть $r$ и $R$ — радиусы вписанной и описанной окружностей этого треугольника соответственно. Докажите следующее равенство: $$\frac{1}{AB \cdot CE} + \frac{1}{BC \cdot AF} + \frac{1}{CA \cdot BD} = \frac{1}{r \cdot R}.$$

Комментарий/решение

Если выразить по основному свойству биссектрисы:

$CE = \dfrac{AC \cdot BC}{AB+BC} , \ AF = \dfrac{AB \cdot AC}{BC+AC}, \ BD = \dfrac{AB \cdot BC}{AB+AC} $

и подставить в исходное равенство, получиться:

$\dfrac{1}{AB \cdot CE} + \dfrac{1}{BC \cdot AF} + \dfrac{1}{CA \cdot BD} = \dfrac{2(AB+BC+AC)}{AB \cdot BC \cdot AC} = \frac{1}{r \cdot R}$ но $AB+BC+AC = 2p$ тогда $\dfrac{4p}{AB \cdot BC \cdot AC} = \dfrac{1}{rR}$

вспомнив что $S=pr , \ \ S=\dfrac{AB \cdot BC \cdot AC}{4R}$ или $\dfrac{4p}{AB \cdot BC \cdot AC} = \dfrac{1}{rR}$