қазақша
русскийРайонная олимпиада, 2025-2026 учебный год, 11 класс
Задача №1. Даны неотрицательные действительные числа $a, b$ для которых $a+b=1$. Докажите, что $$\frac{a^2+b^2}{2} \le a^3+b^3\le a^2+b^2 .$$
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. Биссектрисы углов треугольника $ABC$ пересекают стороны $BC$, $AC$ и $AB$ в точках $D$, $E$ и $F$ соответственно. Пусть $r$ и $R$ — радиусы вписанной и описанной окружностей этого треугольника соответственно. Докажите следующее равенство: $$\frac{1}{AB \cdot CE} + \frac{1}{BC \cdot AF} + \frac{1}{CA \cdot BD} = \frac{1}{r \cdot R}.$$
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. Азамат и Асхат играют в игру. Они поочередно берут некоторое количество шариков из коробки, содержащей 2025 шарика, начиная с Азамата. В каждый ход каждый игрок должен взять $2^m$ шариков из коробки, где $m$ — неотрицательное целое число. Например, игрок может взять 1 шарик, 4 шарика или 32 шарика, но не может взять 10 шариков, потому что 10 не является степенью 2. Выигрывает тот игрок, который заберет последний шарик из коробки. Кто выиграет при правильной игре?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. Пусть $s(x)$ — сумма натуральных делителей натурального числа $x$, а $d(x)$ — количество его натуральных делителей. Например: $s(15)=1+3+5+15=24$, $d(15)=4$, так как у числа 15 есть 4 натуральных делителя: $\{1, 3, 5, 15\}$. Найдите все натуральные решения уравнения:$$ s(x) \cdot d(x)=96.$$
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)