Районная олимпиада, 2025-2026 учебный год, 11 класс

Даны неотрицательные действительные числа $a, b$ для которых $a+b=1$. Докажите, что $$\frac{a^2+b^2}{2} \le a^3+b^3\le a^2+b^2 .$$

Комментарий/решение

1) $a^3+b^3 - (a^2+b^2) \leq 0 $

$(a+b)(a^2-ab+b^2) - (a^2+b^2) = -ab \leq 0 $

$ab \geq 0 $ верно в силу неотрицательности

2) $a^2+b^2 \leq 2(a^3+b^3)$

$a^2+b^2 \leq 2(a^2-ab+b^2)$

$ 0 \leq (a-b)^2$

верно