Районная олимпиада, 2025-2026 учебный год, 11 класс

$a+b=1$ болатын теріс емес $a, b$ нақты сандары берілген. Дәлелдеңіз: $$\frac{a^2+b^2}{2} \le a^3+b^3 \le a^2+b^2 .$$

Комментарий/решение

1) $a^3+b^3 - (a^2+b^2) \leq 0 $

$(a+b)(a^2-ab+b^2) - (a^2+b^2) = -ab \leq 0 $

$ab \geq 0 $ верно в силу неотрицательности

2) $a^2+b^2 \leq 2(a^3+b^3)$

$a^2+b^2 \leq 2(a^2-ab+b^2)$

$ 0 \leq (a-b)^2$

верно

$$ \frac{a^2+b^2}{2} \leq a^3+b^3 \leq a^2+b^2 $$

Дәлелдеуі:

$$ (a+b)^2 = (a+b)^3 = 1, \quad өйткені \quad a + b = 1 $$

$$ 1) a^2+b^2 = 1 - 2ab, \quad ab = \frac{1 - a^2 - b^2}{2} $$

$$ a^3+b^3 = 1 - 3ab(a+b), \quad ab = \frac{1 - a^3 - b^3}{3} $$

$$ \frac{1 - a^2 - b^2}{2} = \frac{1 - a^3 - b^3}{3}, \quad мұнда \quad a + b = 1 $$

2) а) жағдай:

$$ \frac{1}{2} (a^2 + b^2) \leq 1 - \frac{3(1 - a^2 - b^2)(a+b)}{2}, $$

бұдан

$$ a^2 + b^2 \geq \frac{1}{2}, $$

немесе

$$ \frac{1}{2} (a^2 + b^2) \leq 1 - \frac{3(1 - a^3 - b^3)(a+b)}{3}, $$

енді

$$ (a - b)^2 \geq 0, \quad яғни \quad a \geq b, $$

әйтпесе

$$ a < b, $$

ә) жағдай:

$$ \frac{1 - 2ab}{2} \leq 1 - 3ab(a + b), $$

осыдан

$$ ab \leq \frac{1}{4} $$

3) а) жағдай:

$$ 1 - \frac{3(1 - a^2 - b^2)(a+b)}{2} \leq a^2 + b^2, $$

демек,

$$ a^2 + b^2 \leq 1, $$

немесе

$$ 1 - \frac{3(1 - a^3 - b^3)(a+b)}{3} \leq a^2 + b^2, $$

бұдан

ә) жағдай:

$$ 1 - 3ab(a + b) \leq 1 - 2ab, $$

олай болса,

$$ ab \geq 0. $$

Сонымен,

$$ a = b = \frac{1}{2}, \quad a = 1, \quad b = 0, \quad a = 0, \quad b = 1. $$

$$ 0 \leq ab \leq \frac{1}{4}, $$

$$ \frac{1}{2} \leq a^2 + b^2 \leq 1. $$

Қорытынды:

$$ \frac{a^2 + b^2}{2} \leq a^3 + b^3 \leq a^2 + b^2 $$

қос теңсіздік орындалады.

Амангелді Садыков