Районная олимпиада, 2025-2026 учебный год, 11 класс

Азамат и Асхат играют в игру. Они поочередно берут некоторое количество шариков из коробки, содержащей 2025 шарика, начиная с Азамата. В каждый ход каждый игрок должен взять $2^m$ шариков из коробки, где $m$ — неотрицательное целое число. Например, игрок может взять 1 шарик, 4 шарика или 32 шарика, но не может взять 10 шариков, потому что 10 не является степенью 2. Выигрывает тот игрок, который заберет последний шарик из коробки. Кто выиграет при правильной игре?

Комментарий/решение

Ответ: Асхат

Заметим что 2025 делится на 3. Тогда если на своем ходу Асхат будет забирать столько, что количество шариков после его хода будет делится на 3 тогда он победит. Пусть Азамат сможет на своем ходу зделать так, что после его хода количество шариков будет делится на 3 но до его хода количество шариков уже делилось на 3 из чего следует что такое не может быть.

Если Азамат возьмет 1 шарик то Асхат возьмет (2^k), k>=1 и соответсвенно если Азамат возьмет (2^k), k>=1 то Асхат возьмет 1 шарик.