Районная олимпиада, 2025-2026 учебный год, 11 класс

Азамат пен Асхат ойын ойнап жатыр. Олар кезекпен, Азаматтан бастап, ішінде $2025$ шар бар қораптан белгілі бір мөлшердегі шарларды алады. Әр жүрісте ойыншы қораптан $2^m$ шар алуы керек, мұндағы $m$ — теріс емес бүтін сан. Мысалы, ойыншы $1$ шар, $4$ шар немесе $32$ шар ала алады, бірақ $10$ шар ала алмайды, себебі $10$ саны $2$-нің дәрежесі емес. Қораптан соңғы шарды алған ойыншы жеңеді. Дұрыс ойында кім жеңетінін анықтаңыз?

Комментарий/решение

Ответ: Асхат

Заметим что 2025 делится на 3. Тогда если на своем ходу Асхат будет забирать столько, что количество шариков после его хода будет делится на 3 тогда он победит. Пусть Азамат сможет на своем ходу зделать так, что после его хода количество шариков будет делится на 3 но до его хода количество шариков уже делилось на 3 из чего следует что такое не может быть.

Если Азамат возьмет 1 шарик то Асхат возьмет (2^k), k>=1 и соответсвенно если Азамат возьмет (2^k), k>=1 то Асхат возьмет 1 шарик.