қазақша
русский12-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2025 год, вторая лига, 9-10 классы
Задача №1. Дана прямоугольная трапеция $PYXQ$ $(PY \perp PQ \perp QX)$. Точки $A$ и $B$ лежат на прямой $PQ$ так, что $\angle AYQ=\angle BXP=90^{\circ}$. Докажите, что $\triangle AYS \sim \triangle BXS$, где $S$ — точка пересечения диагоналей трапеции.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. Дан квадрат $ABCD$. Точка $E$ — середина стороны $BC$, а точка $F$ лежит на стороне $AB$ так, что $DE \perp EF$. Точка $G$ лежит внутри квадрата так, что $GF=EF$ и $GF \perp EF$. Прямые $AC$ и $DE$ пересекаются в точке $X$. Докажите, что точки $G$, $B$, $E$, $X$ лежат на одной окружности.
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №3. Пусть $\omega$ — описанная окружность данного треугольника $ABC$. Точка $T$ — середина дуги $BC$ окружности $\omega$, не содержащей точку $A$. Прямая $BT$ пересекает биссектрису внешнего угла $BAC$ в точке $P$. Точка $H$ — основание перпендикуляра, проведённого из $A$ на касательную к $\omega$ в точке $T$, а $M$ — середина отрезка $AP$. Докажите, что $\angle AHM=\angle ACP$.
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №4. В выпуклом шестиугольнике $ABCYXD$ выполняется $$\begin{gathered}\angle ACY=\angle BDX=90^{\circ},\\ \angle BAC=2\angle CAY,\quad \angle ABD=2\angle DBX,\\ XY=DX+CY.\end{gathered}$$ Докажите, что $$\sqrt{(CD-DX)(CD-CY)} \le \frac{AC+BD-AB}{2}.$$
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №5. Дан треугольник $ABC$ со сторонами $AB < AC$. Пусть $\omega$ — произвольная окружность, проходящая через точки $B$ и $C$. $F$ и $E$ — точки пересечения $\omega$ со прямыми $AB$ и $AC$ соответственно. $M$ и $N$ — точки пересечения серединных перпендикуляров к отрезкам $BF$ и $CE$ со стороной $BC$ соответственно. Пусть $P$ — точка пересечения серединного перпендикуляра к $MN$ с $EF$. Докажите, что при изменении окружности $\omega$ точка $P$ лежит на фиксированной прямой.
комментарий/решение
комментарий/решение