12-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2025 год, вторая лига, 9-10 классы

Есеп №1. $PY \perp PQ \perp QX$ болатын $PYXQ$ тікбұрышты трапециясы берілген. $PQ$ түзуінде $A$ және $B$ нүктелері $\angle AYQ=\angle BXP=90^{\circ}$ болатындай алынған. Трапецияның диагональдары $S$ нүктесінде қиылысады. $\triangle AYS \sim \triangle BXS$ екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №2. $ABCD$ шаршысы берілген. $E$ нүктесі $BC$ қабырғасының ортасы, ал $F$ нүктесі $AB$ қабырғасында $DE \perp EF$ болатындай орналасқан. Шаршының ішінде $G$ нүктесі $GF=EF$ және $GF \perp EF$ болатындай нүкте. $AC$ және $DE$ түзулері $X$ нүктесінде қиылысады. $G$, $B$, $E$, $X$ нүктелері бір шеңбердің бойында жататынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение

---

Есеп №3. $\omega$ — $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер. $T$ нүктесі — $\omega$-ның $A$ нүктесін қамтымайтын $BC$ доғасының ортасы. $BT$ түзуі $\angle BAC$-ның сыртқы бұрышының биссектрисасын $P$ нүктесінде қияды. $\omega$-ға $T$ нүктесінде жүргізілген жанамаға $AH$ перпендикуляры түсірілген, ал $M$ — $AP$ кесіндісінің ортасы. $\angle AHM=\angle ACP$ екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение

---

Есеп №4. Дөңес $ABCYXD$ алтыбұрышында келесі теңдіктер орындалады: $$\begin{gathered}\angle ACY=\angle BDX=90^{\circ},\\ \angle BAC=2\angle CAY,\quad \angle ABD=2\angle DBX,\\ XY=DX+CY.\end{gathered}$$ Келесі теңсіздікті дәлелдеңіз: $$\sqrt{(CD-DX)(CD-CY)} \le \frac{AC+BD-AB}{2}.$$
комментарий/решение

---

Есеп №5.  $AB < AC$ болатын $ABC$ үшбұрышы берілген. $B$ және $C$ нүктелері арқылы өтетін кез келген $\omega$ шеңберін алайық. $\omega$ шеңбері $AB$ және $AC$ түзулерін тиісінше $F$ және $E$ нүктелерінде қиып өтеді. $BF$ және $CE$ кесінділерінің орталық перпендикулярлары $BC$ қабырғасын тиісінше $M$ және $N$ нүктелерінде қиып өтеді. $MN$ кесіндісінің орта перпендикуляры $EF$ түзусін $P$ нүктесінде қияды. $\omega$ шеңбері өзгергенде $P$ нүктесі қандай да тұрақты түзудің бойында жататынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение

---