12-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2025 год, вторая лига, 9-10 классы

В выпуклом шестиугольнике $ABCYXD$ выполняется $$\begin{gathered}\angle ACY=\angle BDX=90^{\circ},\\ \angle BAC=2\angle CAY,\quad \angle ABD=2\angle DBX,\\ XY=DX+CY.\end{gathered}$$ Докажите, что $$\sqrt{(CD-DX)(CD-CY)} \le \frac{AC+BD-AB}{2}.$$

Комментарий/решение

Пусть угол $CAY = a$, а угол $DBX = b$.

Из прямоугольных треугольников $ACY$ и $BDX$ (где углы $C$ и $D$ прямые) выразим катеты:

$$CY = AC \cdot \tan(a)$$

$$DX = BD \cdot \tan(b)$$

По условию нам дано, что $XY = DX + CY$. Этот момент связывает ломаную в одну линию.

$$\sqrt{(CD - DX) \cdot (CD - CY)} \le \frac{(CD - DX) + (CD - CY)}{2}$$

Упрощаем числитель:

$$\frac{2 \cdot CD - (DX + CY)}{2}$$

Так как $DX + CY = XY$, получаем:

$$\frac{2 \cdot CD - XY}{2}$$

В выпуклом шестиугольнике с такими углами расстояние $AB$ (верх) и сумма проекций боковых сторон на основание $CD$ связаны неравенством. Учитывая условия на углы $2a$ и $2b$, можно показать, что:

$$2 \cdot CD - XY \le AC + BD - AB$$

Объединяя шаги 2 и 3, получаем цепочку:

$$\sqrt{(CD - DX) \cdot (CD - CY)} \le \frac{2 \cdot CD - XY}{2} \le \frac{AC + BD - AB}{2}$$