12-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2025 год, вторая лига, 9-10 классы

Дан треугольник $ABC$ со сторонами $AB < AC$. Пусть $\omega$ — произвольная окружность, проходящая через точки $B$ и $C$. $F$ и $E$ — точки пересечения $\omega$ со прямыми $AB$ и $AC$ соответственно. $M$ и $N$ — точки пересечения серединных перпендикуляров к отрезкам $BF$ и $CE$ со стороной $BC$ соответственно. Пусть $P$ — точка пересечения серединного перпендикуляра к $MN$ с $EF$. Докажите, что при изменении окружности $\omega$ точка $P$ лежит на фиксированной прямой.

Комментарий/решение

Пусть K — середина BC, D — точка пересечения AK и EF, Q — точка пересечения FM и EN, а O — центр окружности \omega. Мы имеем \angle FEQ = 180^\circ - \angle AEF - \angle NEC = 180^\circ - \angle B - \angle C = \angle A, следовательно, QE является касательной к окружности (AEF). Аналогично, QF также является касательной к (AEF), поэтому точка Q лежит на A-симедиане. Заметим, что \triangle AEF \sim \triangle ABC, следовательно, Q лежит на A-медиане, то есть Q лежит на прямой AK. Также отношение \frac{AD}{DQ} остается неизменным при изменении \omega.

​Так как O лежит на серединных перпендикулярах к BF и CE, O является инцентром (центром вписанной окружности) треугольника QMN, а K — точкой касания вписанной окружности со стороной MN.

​Теперь пусть T — середина дуги \stackrel{\smallfrown}{MQN}, а R — точка на серединном перпендикуляре к MN, такая что AR \parallel EF. Заметим, что QT \parallel EF, так как и QT, и EF перпендикулярны QO. При изменении \omega все треугольники QMN гомотетичны относительно точки K, поэтому T лежит на фиксированной прямой, проходящей через K.

​Так как AR \parallel PD \parallel TQ, мы имеем \frac{RP}{PT} = \frac{AD}{DQ}, что означает, что отношение \frac{RP}{PT} постоянно. Пусть S — точка пересечения AR и KT. Заметим, что S является фиксированной точкой, так как лучи KT и AR фиксированы. Тогда, согласно гомотетии с центром в точке S, точка P лежит на фиксированной прямой, проходящей через S.