12-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2025 год, вторая лига, 9-10 классы

$AB < AC$ болатын $ABC$ үшбұрышы берілген. $B$ және $C$ нүктелері арқылы өтетін кез келген $\omega$ шеңберін алайық. $\omega$ шеңбері $AB$ және $AC$ түзулерін тиісінше $F$ және $E$ нүктелерінде қиып өтеді. $BF$ және $CE$ кесінділерінің орталық перпендикулярлары $BC$ қабырғасын тиісінше $M$ және $N$ нүктелерінде қиып өтеді. $MN$ кесіндісінің орта перпендикуляры $EF$ түзусін $P$ нүктесінде қияды. $\omega$ шеңбері өзгергенде $P$ нүктесі қандай да тұрақты түзудің бойында жататынын дәлелдеңіз.