Районная олимпиада, 2001-2002 учебный год, 11 класс

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1. Решите в целых числах уравнение

$6x^2 + 5y^2 = 74$ .
комментарий/решение(3)

Задача №2. Доказать, что число

$(a_1^2+a_2^2+ \ldots +a_{12}^2)\cdot a_1^2\cdot a_2^2\cdot \ldots \cdot a_{12}^2$ делится на 12 при любых целых

$a_1, a_2, \ldots , a_{12}$ .
комментарий/решение(1)

Задача №3. Доказать, что сумма расстояний от любой точки основания равнобедренного треугольника до боковых сторон равна высоте этого треугольника, проведенной к боковой стороне.
комментарий/решение(1)

Задача №4. На шахматной доске размером

$1000 \times 1000$ стоит черный король и 499 белых ладей. Доказать, что при произвольном начальном расположении фигур через некоторое число ходов король может стать под удар белой ладьи, как бы не играли белые.
комментарий/решение