Районная олимпиада, 2001-2002 учебный год, 11 класс

Доказать, что число $(a_1^2+a_2^2+ \ldots +a_{12}^2)\cdot a_1^2\cdot a_2^2\cdot \ldots \cdot a_{12}^2$ делится на 12 при любых целых $a_1, a_2, \ldots , a_{12}$.

Комментарий/решение

Для начала вспомним, что квадрат целого числа имеет остаток или 0 или 1. Если среди этих чисел нет нацело делящихся на 3, то скобка разделится, потому что сумма остатков равна 0 по модулю 3. Если среди чисел найдется четное, то квадрат его делится на 4. Если же все нечетны, то сумма в скобке четна. Таким образом произведение по любому делится на 12