Математикадан аудандық олимпиада, 2001-2002 оқу жылы, 11 сынып

$\left( a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\ldots +a_{12}^{2} \right)\cdot a_{1}^{2}\cdot a_{2}^{2}\cdot \ldots \cdot a_{12}^{2}$ өрнегінің 12-ге бөлінетінін дәлелдеңіз. Бұл жерде ${{a}_{1}}$, ${{a}_{2}}$, $\ldots ,$ ${{a}_{12}}$ — бүтін сандар.

Комментарий/решение

Для начала вспомним, что квадрат целого числа имеет остаток или 0 или 1. Если среди этих чисел нет нацело делящихся на 3, то скобка разделится, потому что сумма остатков равна 0 по модулю 3. Если среди чисел найдется четное, то квадрат его делится на 4. Если же все нечетны, то сумма в скобке четна. Таким образом произведение по любому делится на 12