қазақша
русскийЮниорская олимпиада по математике. Заключительный этап. 2024-2025 учебный год. 7 класс.
Задача №1. (a) Докажите, что для любых действительных чисел $x, y, z$ справедливо равенство: $$ x^{3}+y^{3}+z^{3}-3 x y z=(x+y+z)\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}-x y-x z-y z\right) .$$ (b) Найти все пары $(a, b)$ действительных чисел, удовлетворяющих равенству: $a^{3}+b^{3}+6 a b=8$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. В прямоугольном треугольнике $A B C$ к гипотенузе $A B$ проведена высота $C H$. В треугольниках $A C H$ и $B C H$ проведены соответственно биссектрисы $C K$ и $C L$. Оказалось, что точка $L$ является серединой гипотенузы $A B$. Найдите отношение $\frac{2CH-AK}{KL}$.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №3. Пусть $x, y, z$ — положительные действительные числа такие, что $$x+y+z \geq \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$$ и $xyz=1$. Докажите, что $\min \{x+y, y+z, z+x\} \leq 2$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. Найти все пары целых чисел $(x, y)$, которые удовлетворяют уравнению $$ \left(x^{2}-3 x-1\right)\left(x^{2}-x+1\right)=7 \cdot 3^{y} . $$
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №5. У одного рассеянного учёного в лаборатории хранятся 35 неотличимых с виду кристаллов. Среди них точно есть 1 энергокристалл, 1 кристалл-нейтрализатор (он подавляет свойства энергокристалла, если находится рядом) и 33 обычных кристалла. По рассеянности учёный сложил все кристаллы в одну коробку, и теперь не может определить, где какой.
За один запуск учёный может поместить в детектор некоторое количество кристаллов (в детектор помещается любое количество кристаллов — от одного до всех 35). После этого он проводит проверку с помощью детектора. Результат работы детектора зависит от состава помещённых в него кристаллов:
Если в детекторе находятся только обычные кристаллы, он не реагирует.
Если среди кристаллов есть энергокристалл, но нет нейтрализатора, детектор подсвечивает энергокристалл зелёным светом.
Если среди помещённых кристаллов есть нейтрализатор (независимо от наличия энергокристалла), детектор не подаёт никаких сигналов — действие энергокристалла подавляется.
Однако есть ограничение: заряда аккумулятора хватит лишь на 7 запусков.
Сможет ли учёный, используя не более 7 запусков детектора, однозначно определить, какой из 35 кристаллов является энергокристаллом?
комментарий/решение(1)
За один запуск учёный может поместить в детектор некоторое количество кристаллов (в детектор помещается любое количество кристаллов — от одного до всех 35). После этого он проводит проверку с помощью детектора. Результат работы детектора зависит от состава помещённых в него кристаллов:
Если в детекторе находятся только обычные кристаллы, он не реагирует.
Если среди кристаллов есть энергокристалл, но нет нейтрализатора, детектор подсвечивает энергокристалл зелёным светом.
Если среди помещённых кристаллов есть нейтрализатор (независимо от наличия энергокристалла), детектор не подаёт никаких сигналов — действие энергокристалла подавляется.
Однако есть ограничение: заряда аккумулятора хватит лишь на 7 запусков.
Сможет ли учёный, используя не более 7 запусков детектора, однозначно определить, какой из 35 кристаллов является энергокристаллом?
комментарий/решение(1)