Юниорская олимпиада по математике. Заключительный этап. 2024-2025 учебный год. 7 класс.

У одного рассеянного учёного в лаборатории хранятся 35 неотличимых с виду кристаллов. Среди них точно есть 1 энергокристалл, 1 кристалл-нейтрализатор (он подавляет свойства энергокристалла, если находится рядом) и 33 обычных кристалла. По рассеянности учёный сложил все кристаллы в одну коробку, и теперь не может определить, где какой.
   За один запуск учёный может поместить в детектор некоторое количество кристаллов (в детектор помещается любое количество кристаллов — от одного до всех 35). После этого он проводит проверку с помощью детектора. Результат работы детектора зависит от состава помещённых в него кристаллов:
   Если в детекторе находятся только обычные кристаллы, он не реагирует.
   Если среди кристаллов есть энергокристалл, но нет нейтрализатора, детектор подсвечивает энергокристалл зелёным светом.
   Если среди помещённых кристаллов есть нейтрализатор (независимо от наличия энергокристалла), детектор не подаёт никаких сигналов — действие энергокристалла подавляется.
   Однако есть ограничение: заряда аккумулятора хватит лишь на 7 запусков.
   Сможет ли учёный, используя не более 7 запусков детектора, однозначно определить, какой из 35 кристаллов является энергокристаллом?

Комментарий/решение

35 кристаллов = 2^5 < 35 < 2^6 нужно 6 бит

Но с нейтрализатором нужен 1 бит запас

7 запусков=7 бит можно

Ответ да можно за 7 запусков

Ну там есть контрпример где 111-нейтрализатор, 110-энергокристал если делать побитно все числа от 1 до 35.

Каждому кристаллу присвоим свой двоичный код из $7$ цифр: где ровно $4$ единиц и $3$ нулей.

Так можно сделать так как $C_{7}^{3}=35$. Теперь на $i$ - тый запуск будем проверять , те кристаллы у которых в двоичном коде на $i$ - том разряде стоит единица.

Нетрудно заметить, что найдется запуск в котором будет проверен энергокристалл без нейтрализатора. Так как найдется разряд в двоичном коде где у энергокристалла стоит $1$, а у нейтрализатора $0$