Юниорская олимпиада по математике. Заключительный этап. 2024-2025 учебный год. 7 класс.

Пусть $x, y, z$ — положительные действительные числа такие, что $$x+y+z \geq \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$$ и $xyz=1$. Докажите, что $\min \{x+y, y+z, z+x\} \leq 2$.

Комментарий/решение

x ≤ y ≤ z следовательно min{x + y, y + z, z + x} = x + y.

x+y+z≥1/x+1/y+1/z=yz+xz+xy/xyz=yz+xz+xy перенесем все влево и выйдет

x+y+z-yz-xz-xy≥0 так как xyz=1 можем сделать такой трюк и разложить на множители

xyz-1+x+y+z-yz-xz-xy≥0 далее

(xyz-yz)-(xy-y)-(zx-z)-(x-1)

(x-1)(yz-y-z+1)=(x-1)((yz-z)-(y-1))=(x-1)(y-1)(z-1)≥0 так как х-1<0 поэтому (у-1)(z-1)≤0

если y > 1, то z > 1 но тогда y - 1 > 0 и z - 1 >0 следовательно

(y - 1)(z - 1) > 0

что приводит к противоречию

Значит, y ≤ 1поэтому

x + y ≤ 1 + 1 = 2

От противного

x+y>2 , y+z>2 , z+x>2 сложим три уравнения 2х+2у+2z>6 ===> x+y+z>3 отнимем от этого уравнения первые три(по-очередно)

В итоге выйдет что х>1 , y>1 ,z>1 а произведение трех чисел больше 1 не будет равным 1 = Противоречие = значит наше изначальное утверждение от противного не верно

Там когда я сказал отнимем, мы отнимаем от х+у+z>3 наши х+у>2, х+z>2 , z+y>2