Юниорская олимпиада по математике. Заключительный этап. 2024-2025 учебный год. 7 класс.

Теңдеудің шешімі болатын барлық $(x, y)$ бүтін сандар жұптарын табыңыз: $$ \left(x^{2}-3 x-1\right)\left(x^{2}-x+1\right)=7 \cdot 3^{y} . $$

Комментарий/решение

Если y<0 то правая часть уравнения не будет целой получается у=>0

Рассмотрим остатки при делении на 9 числа х^2-х+1 под х подставляем числа {1 до 8}

х mod 9: 0;1;2;3;4;5;6;7;8

x^2 mod 9: 0;1;4;0;7;7;0;4;1

x^2-x+1 mod 9: 1;1;3;7;4;3;4;7;3

Число х^2-х+1 не делится на 9 поэтому возможны 4 случая

Просто подставляем в уравнения х

1)х=0 -> -1=7×3^у неверно

х=1 -> -3=7×3^у неверно

2)х=-1 -> 9=7×3^у неверно т.к левая часть не делится на 7 а правая делится

х=2 -> -9=7×3^у неверно

3)х=-2 -> 63=7×3^у это уже верно и уже понятно что у=2

х=3 -> -7=7×3^у неверно

4) х=-4 -> 567=7×3^у=7×3^4=7×3^у и тут уже понятно что у=4

х=5 -> 189=7×3^у=7×3^3=7×3^у и понятно что у=3

Ответ (-2;2),(-4;4),(5;3)