қазақша
русскийЮниорская олимпиада по математике. Заключительный этап. 2023-2024 учебный год. 8 класс.
Есеп №1. $x$ және $y$ нақты сандары келесi теңдiктi қанағаттандыратыны белгiлi: $(2x+y)^2=4x+24.$ $x + y \le 7$ болатынын дәлелдеңiз.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №2. $a_1, a_2, \ldots, a_{2024}$ сандар тiзбегi берiлген. $1 \le n \le 2024$ болатын барлық натурал $n$ үшiн $S_n=a_1+a_2+\ldots+a_n$ деп алайық. Егер $a_1 = 2024$ және $1 \le n \le 2024$ болатын барлық натурал n үшiн $S_n=n^2a_n$ болса, онда $a_{2024}$ мәнi неге тең?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №3. $n > 6$ натурал саны берiлсiн. $(n - 1)$ және $(n + 1)$ жәй сандар болып шықты. $N=n^2(n^2+16)$ саны 720-ға бөлiнетiнiн дәлелдеңiз.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №4. $ABC$ үшбұрышында $\angle ABC = 60^\circ$. $O$ — оған сырттай сызылған шеңбердiң центрi, ал $H$ — оның ортоцентрi (биiктiктердiң қиылысу нүктесi). $BD=BH$ болатындай $BC$-ның бойынан $D$ нүктесi алынған. $BE=BO$ болатындай $AB$-ның бойынан $E$ нүктесi алынған. Егер $BO=1$ болса, $DE$-ның ұзындығын табыңыз.
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Есеп №5. Шахмат турнирiнде 2024 ойыншының әрқайсысы әр ойыншымен бiр рет ойнайды. Бiрнеше ойын ойналғаннан кейiн, кез келген үш ойыншының iшiнде бiр-бiрiмен әлi ойнамаған кем дегенде екеуi бар екенi байқалды. Осы уақытқа дейiн ойналған ойындардың ең көп мүмкiн санын табыңыз.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)