Юниорская олимпиада по математике. Заключительный этап. 2023-2024 учебный год. 8 класс.

Дана последовательность чисел $a_1, a_2, \ldots, a_{2024}$. Для всех натуральных $n$ таких, что $1 \le n \le 2024$, положим $S_n=a_1+a_2+\ldots+a_n$. Чему равно значение $a_{2024}$, если $a_1 = 2024$ и $S_n=n^2a_n$ для всех натуральных $n$ удовлетворяющих неравенству $1 \le n \le 2024?$

Комментарий/решение

$a_{2024}=S_{2024}-S_{2023}=2024^2a_{2024}-2023^2a_{2023}\Longrightarrow a_{2024}\cdot 2025\cdot 2023=2023^2a_{2023}\Longrightarrow a_{2024}=\dfrac{a_{2023}2023}{2025}$

Аналогично найдем что $a_{2023}=\dfrac{a_{2022}2022}{2024}\Longrightarrow a_{2024}=\dfrac{a_{2022}\cdot 2023\cdot 2022}{2025\cdot 2024}=…=\dfrac{2023!}{\tfrac{2025!}{2!}}\cdot a_1=\dfrac{2}{2025}\blacksquare$