қазақша
русскийЮниорская олимпиада по математике. Заключительный этап. 2023-2024 учебный год. 8 класс.
Задача №1. Известно, что действительные числа $x$ и $y$ удовлетворяют уравнению: $(2x+y)^2=4x+24.$ Докажите, что $x + y \le 7.$
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №2. Дана последовательность чисел $a_1, a_2, \ldots, a_{2024}$. Для всех натуральных $n$ таких, что $1 \le n \le 2024$, положим $S_n=a_1+a_2+\ldots+a_n$. Чему равно значение $a_{2024}$, если $a_1 = 2024$ и $S_n=n^2a_n$ для всех натуральных $n$ удовлетворяющих неравенству $1 \le n \le 2024?$
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. Дано натуральное число $n > 6$. Оказалось, что $(n - 1)$ и $(n + 1)$ являются простыми числами. Докажите, что число $N=n^2(n^2+16)$ делится на 720.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. В треугольнике $ABC$ $\angle ABC = 60^\circ$. $O$ — центр его описанной окружности, а $H$ — его ортоцентр (точка пересечения высот). $D$ — точка на $BC$ такая, что $BD=BH$, а $E$ — точка на $AB$ такая, что $BE=BO$. Найдите длину $DE$, если $BO=1$.
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №5. В шахматном турнире каждый из 2024 игроков играет с каждым ровно один раз. После того, как сыграно несколько партий, замечено, что среди любых трёх игроков есть как минимум двое, которые ещё не играли друг с другом. Найдите максимальное возможное количество сыгранных к данному моменту партий.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)