Юниорская олимпиада по математике. Заключительный этап. 2023-2024 учебный год. 8 класс.

Дано натуральное число $n > 6$. Оказалось, что $(n - 1)$ и $(n + 1)$ являются простыми числами. Докажите, что число $N=n^2(n^2+16)$ делится на 720.

Комментарий/решение

Очевидно что $n=2k.$ $n-1\equiv 1,2 \pmod 3\Longrightarrow n+1\equiv 2,1 \pmod 3\Longrightarrow n^2(n^2+16)\equiv 0 \pmod 9; n^2(n^2+16)\equiv n^4=16k^4\equiv 0 \pmod {16};n\equiv 0,2,3 \pmod 5\Longrightarrow n^2\equiv 0,4\Longrightarrow n^2(n^2+16)\equiv 0 \pmod 5\Longrightarrow n^2(n^2+16)\equiv 0 \pmod{720}\blacksquare$