Юниорская олимпиада по математике. Заключительный этап. 2023-2024 учебный год. 8 класс.

В шахматном турнире каждый из 2024 игроков играет с каждым ровно один раз. После того, как сыграно несколько партий, замечено, что среди любых трёх игроков есть как минимум двое, которые ещё не играли друг с другом. Найдите максимальное возможное количество сыгранных к данному моменту партий.

Комментарий/решение

Б.O.O. игроки $a_1$ и $a_2$ играли друг с другом. Затем никто из оставшихся 2022 игроков не играл с $a_1$ и $a_2$ одновременно. Игроки $a_1$ и $a_2$ в сумме не играли более 2023. Аналогично, любые два игрока из оставшихся 2022 игроков не играли более 2021 и т. д. B общей сложности все игроки не играли более $1+3+…+2023=2024\cdot 506=1012^2\blacksquare$