қазақша
русскийЕвропейская математическая олимпиада среди девочек (EGMO). 2019 год. Украина
Есеп №1. $ab+bc+ca=1$ және $ a^{2} b+c=b^{2} c+a=c^{2} a+b.$ теңдiктердi қанағаттандыратын барлық нақты $(a, b, c)$ сандарын табыңыз.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №2. $n$ — бүтiн оң саны болсын, және домино тастары $2n \times 2n$ тақтада орналасқан болсын. Тақтаның әр торы домино тасымен жабылған тек бiр тормен көршi болсын. Осы ереженi қанағаттандыратындай кез келген $n$ үшiн ең көп қанша домино тасын орналастыруға болады?
(Домино тасы — шамалары $2 \times 1$ немесе $1 \times 2$ тақтайшасы. Домино тасы тақтаның дәл екi торын жабады және домино тастары қабаттаспайды. Бiр қабырғасы ортақ екi тор көршi болып аталады.)
комментарий/решение
(Домино тасы — шамалары $2 \times 1$ немесе $1 \times 2$ тақтайшасы. Домино тасы тақтаның дәл екi торын жабады және домино тастары қабаттаспайды. Бiр қабырғасы ортақ екi тор көршi болып аталады.)
комментарий/решение
Есеп №3. $ABC$ үшбұрышында $\angle CAB>\angle ABC$ болсын, ал $I$ — оның iштей сызылған шеңбердiң центрі болсын. $\angle CAD=\angle ABC$ болатындай $BC$ қесiндiде $D$ нүктесi белгiленсiн. $\omega$ шеңберi $AC$ түзудi $A$ нүктесiнде жанайды және $I$ нүктеден өтедi. $\omega$ және $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңберлерi екiншi рет $X$ нүктесiнде қиылыссын. $\angle DAB$ және $\angle CXB$ биссектрисаларының қиылысу нүктесi $BC$ түзудiң бойында жататынын дәлелдеңiз.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №4. $ABC$ үшбұрышының iштей сызылған шеңбердiң центрі $I$ нүктесi болсын. $B$ нүктеден өтетiн және $AI$ түзудi $I$ нүктесiнде жанайтын шеңбер екiншi рет $AB$ қабырғаны $P$ нүктесiнде қияды. $C$ нүктеден өтетiн және $AI$ түзудi $I$ нүктесiнде жанайтын шеңбер екiншi рет $AC$ қабырғаны $Q$ нүктесiнде қияды. $PQ$ түзуi $ABC$ үшбұрышына iштей сызылған шеңбердi жанайтынын дәлелдеңiз.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №5. $n \ge 2$ — бүтiн саны және $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$ — бүтiн оң сандары болсын. Келесi үш шартты қанағаттандыратын $b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{n}$ бүтiн оң сандар табылатынын дәлелдеңiздер:
(A) кез келген $i=1,2, \ldots, n$ үшiн $a_{i} \leq b_{i}$;
(B) $b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{n}$ сандардың $n$-ге бөлгенде қалдықтары бiр-бiрене тең емес; және
(C) $b_{1}+\cdots+b_{n} \leq n\left(\frac{n-1}{2}+\left[\frac{a_{1}+\cdots+a_{n}}{n}\right]\right)$.
(Осы есепте нақты $x$ санның бүтiн бөлiгi $[x]$ арқылы белгiленген, демек, $x$-тен аспайтын ең үлкен бүтiн саны.)
комментарий/решение
(A) кез келген $i=1,2, \ldots, n$ үшiн $a_{i} \leq b_{i}$;
(B) $b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{n}$ сандардың $n$-ге бөлгенде қалдықтары бiр-бiрене тең емес; және
(C) $b_{1}+\cdots+b_{n} \leq n\left(\frac{n-1}{2}+\left[\frac{a_{1}+\cdots+a_{n}}{n}\right]\right)$.
(Осы есепте нақты $x$ санның бүтiн бөлiгi $[x]$ арқылы белгiленген, демек, $x$-тен аспайтын ең үлкен бүтiн саны.)
комментарий/решение
Есеп №6. Алина шеңбердiң iшiне төбелерi беттеспейтiн 2019 хорда салады. Нүкте белгiленген деп аталады, егерде ол
(i) хордалардың 4038 төбелердiң бiрi; немесе
(ii) кем дегенде екi хордалардың қиылысу нүктесi.
Алина әр белгiленген нүктенi нөмiрлейдi. Алина (i) шартты қанағаттандыратын 4038 нүктенiң iшiнен 2019 нүктенi 0 санымен нөмiрлейдi, ал қалған 2019 нүктенi 1 санымен нөмiрлейдi. Ол (ii) шартты қанағаттандыратын әр нүктенi кез келген бүтiн санымен нөмiрлейдi (олар оң сандар болуы мiндеттi емес).
Алина әр хорданың бойында көршiлес белгiленген нүктелердi қосатын кесiндiлердi қарастырады. (Егерде хордада $k$ нүкте белгiленген болса, $k-1$ кесiндi пайда болады.) Ол осындай әр кесiндiге сары белгi қояды — төбелер нөмiрлердiң қосындысы және көк белгi қояды — төбелер нөмiрлердiң айырмасының модулi. Алина келесiнi байқады: барлығы $N+1$ сары белгi бар, және олар барлық $0,1, \ldots, N$ сандарды бiр-бiрден қамтидi. Кем дегенде бiр көк белгi 3-ке бөлiнетiнiн дәлелдеңiз.
(Шеңбердiң кез келген екi әртүрлi нүктенi қосатын кесiндi хорда деп аталады.)
комментарий/решение
(i) хордалардың 4038 төбелердiң бiрi; немесе
(ii) кем дегенде екi хордалардың қиылысу нүктесi.
Алина әр белгiленген нүктенi нөмiрлейдi. Алина (i) шартты қанағаттандыратын 4038 нүктенiң iшiнен 2019 нүктенi 0 санымен нөмiрлейдi, ал қалған 2019 нүктенi 1 санымен нөмiрлейдi. Ол (ii) шартты қанағаттандыратын әр нүктенi кез келген бүтiн санымен нөмiрлейдi (олар оң сандар болуы мiндеттi емес).
Алина әр хорданың бойында көршiлес белгiленген нүктелердi қосатын кесiндiлердi қарастырады. (Егерде хордада $k$ нүкте белгiленген болса, $k-1$ кесiндi пайда болады.) Ол осындай әр кесiндiге сары белгi қояды — төбелер нөмiрлердiң қосындысы және көк белгi қояды — төбелер нөмiрлердiң айырмасының модулi. Алина келесiнi байқады: барлығы $N+1$ сары белгi бар, және олар барлық $0,1, \ldots, N$ сандарды бiр-бiрден қамтидi. Кем дегенде бiр көк белгi 3-ке бөлiнетiнiн дәлелдеңiз.
(Шеңбердiң кез келген екi әртүрлi нүктенi қосатын кесiндi хорда деп аталады.)
комментарий/решение