Европейская математическая олимпиада среди девочек (EGMO). 2019 год. Украина

Пусть $ABC$ — треугольник, а $I$ — центр его вписанной окружности. Окружность, проходящая через $B$ и касающаяся $AI$ в точке $I$, пересекает сторону $AB$ повторно в точке $P$. Окружность, проходящая через $C$ и касающаяся $AI$ в точке $I$, пересекает сторону $AC$ повторно в точке $Q$. Докажите, что $PQ$ касается вписанной окружности треугольника $ABC$.

Комментарий/решение

Достаточно показать, что $I$ - центр вневписанной окружности для $\triangle APQ$. $I$ уже лежит на биссектрисе $\angle PAQ$, а вписанная окружность касается продолжений сторон $AP$ и $AQ$. Можно посчитать углы: $\angle PIQ\stackrel{?}{=} 90^\circ - \frac{\angle PAQ}{2}$.$$\angle PIQ=\angle PBI+\angle QCI=\frac{\angle ABC+\angle BCA}{2}=90^\circ-\frac{\angle PAQ}{2}.$$

Заметим: $\angle PIA = \angle PBI = \angle IBC$, $\angle AIQ = \angle ICQ = \angle ICB$. В четырехугольнике $BCPQ$: $\angle BIC + \angle PIQ = 180^\circ$, значит точек $I$ существует изогонально сопряженная ей точка $X$, но т.к. $BI$, $CI$ - биссектрисы, то $I = X$, следовательно, он лежит на биссектрисах $\angle BPQ$ и $\angle CQP$, откуда $I$ - центр вневписанной треугольника $APQ$, он касается $AB$, $AC$ и $PQ$. $\blacksquare$