қазақша
русскийЕвропейская математическая олимпиада среди девочек (EGMO). 2019 год. Украина
Задача №1. Найдите все тройки ($a, b, c$) вещественных чисел таких, что $ab+bc+ca=1$ и $$ a^{2} b+c=b^{2} c+a=c^{2} a+b.$$
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. Пусть $n$ — положительное целое число. Доминошки расположены на доске $2n \times 2n$ так, что каждая клетка доски является соседней ровно для одной клетки, накрытой доминошкой. Для каждого $n$ определите наибольшее количество доминошек, которое можно расположить таким образом.
(Доминошка — это плитка размера $2 \times 1$ или $1 \times 2$. Доминошки расположены на доске так, что каждая доминошка накрывает ровно две клетки доски и доминошки не перекрываются. Две клетки называются соседними, если они различные и имеют общую сторону.)
комментарий/решение
(Доминошка — это плитка размера $2 \times 1$ или $1 \times 2$. Доминошки расположены на доске так, что каждая доминошка накрывает ровно две клетки доски и доминошки не перекрываются. Две клетки называются соседними, если они различные и имеют общую сторону.)
комментарий/решение
Задача №3. Пусть $ABC$ — треугольник, в котором $\angle CAB > \angle ABC$, а $I$ — центр его вписанной окружности. Пусть $D$ — точка на отрезке $BC$ такая, что $\angle CAD=\angle ABC$. Пусть $\omega$ — окружность, касающаяся $AC$ в точке $A$ и проходящая через $I$. Пусть $X$ — вторая точка пересечения $\omega$ и описанной окружности треугольника $ABC$. Докажите, что биссектрисы углов $\angle DAB$ и $\angle CXB$ пересекаются в точке, лежащей на прямой $BC$.
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №4. Пусть $ABC$ — треугольник, а $I$ — центр его вписанной окружности. Окружность, проходящая через $B$ и касающаяся $AI$ в точке $I$, пересекает сторону $AB$ повторно в точке $P$. Окружность, проходящая через $C$ и касающаяся $AI$ в точке $I$, пересекает сторону $AC$ повторно в точке $Q$. Докажите, что $PQ$ касается вписанной окружности треугольника $ABC$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №5. Пусть $n \geq 2$ — целое число, и пусть $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$ — положительные целые числа. Докажите, что существуют положительные целые числа $b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{n}$, удовлетворяющие следующим трём условиям:
(A) $a_{i} \leq b_{i}$ при $i=1,2, \ldots, n$;
(B) остатки от деления чисел $b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{n}$ на $n$ попарно различны; и
(C) $b_{1}+\cdots+b_{n} \leq n\left(\frac{n-1}{2}+\left[\frac{a_{1}+\cdots+a_{n}}{n}\right]\right)$.
(Здесь через $[x]$ обозначена целая часть вещественного числа $x$, то есть, наибольшее целое число, не превосходящее $x$.)
комментарий/решение
(A) $a_{i} \leq b_{i}$ при $i=1,2, \ldots, n$;
(B) остатки от деления чисел $b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{n}$ на $n$ попарно различны; и
(C) $b_{1}+\cdots+b_{n} \leq n\left(\frac{n-1}{2}+\left[\frac{a_{1}+\cdots+a_{n}}{n}\right]\right)$.
(Здесь через $[x]$ обозначена целая часть вещественного числа $x$, то есть, наибольшее целое число, не превосходящее $x$.)
комментарий/решение
Задача №6. Алина рисует в окружности 2019 хорд, все концы которых различны. Точка считается отмеченной, если она либо
(i) одна из 4038 концов хорд; либо
(ii) точка пересечения по крайней мере двух хорд.
Каждой отмеченной точке Алина ставит в соответствие число. Из 4038 точек, удовлетворяющих критерию (i), Алина 2019 точкам ставит в соответствие число 0, а остальным 2019 точкам число 1. Каждой точке, удовлетворяющей критерию (ii) она ставит в соответствие произвольное целое число (не обязательно положительное).
Вместе с каждой хордой Алина рассматривает отрезки, соединяющие последовательные отмеченные точки. (На хорде с $k$ отмеченными точками есть $k-1$ такой отрезок.) Рядом с каждым таким отрезком она записывает жёлтым сумму чисел, соответствующих его концам, и синим модуль их разности.
Алина обнаружила, что есть всего $N+1$ чисел, записанным жёлтым, и они принимают каждое значение $0,1, \ldots, N$ ровно один раз. Докажите, что по крайней мере одно число, записанное синим, делится на 3.
(Хорда — это отрезок, соединяющий две различные точки окружности.)
комментарий/решение
(i) одна из 4038 концов хорд; либо
(ii) точка пересечения по крайней мере двух хорд.
Каждой отмеченной точке Алина ставит в соответствие число. Из 4038 точек, удовлетворяющих критерию (i), Алина 2019 точкам ставит в соответствие число 0, а остальным 2019 точкам число 1. Каждой точке, удовлетворяющей критерию (ii) она ставит в соответствие произвольное целое число (не обязательно положительное).
Вместе с каждой хордой Алина рассматривает отрезки, соединяющие последовательные отмеченные точки. (На хорде с $k$ отмеченными точками есть $k-1$ такой отрезок.) Рядом с каждым таким отрезком она записывает жёлтым сумму чисел, соответствующих его концам, и синим модуль их разности.
Алина обнаружила, что есть всего $N+1$ чисел, записанным жёлтым, и они принимают каждое значение $0,1, \ldots, N$ ровно один раз. Докажите, что по крайней мере одно число, записанное синим, делится на 3.
(Хорда — это отрезок, соединяющий две различные точки окружности.)
комментарий/решение