1. Все олимпиады
  2. Математика
  3. Городские олимпиады
  4. Олимпиада им. Смагулова (6-7 классы)
  5. 8-я олимпиада им. Шалтая Смагулова (2024-2025 у.г.)
  6. 6 класс, 2 тур

8-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 6 класс, 2 тур


Задача №1. 100 учеников встали в одну шеренгу, и рассчитались слева направо от 1 до 100. Учитель дал первому ученику некоторое число конфет, и попросил их как-то поделить между собой. Первый взял себе $\frac{1}{100}$ часть, а остальные передал второму. Второй оставил себе $\frac{1}{99}$ часть от того, что получил, а остальные передал третьему, и так далее, 99-ый оставил себе $\frac{1}{2}$ часть, а остаток передал 100-му ученику. Известно, что ученики с номерами 1 и 100 ученики получили вместе 8 конфет. Сколько конфет суммарно получили ученики с номерами 2 и 99?
комментарий/решение(1)
Задача №2.  Можно ли в клетках таблицы $4 \times 4$ записать все целые числа от 1 до 16 по одному разу так, чтобы
   а) сумма чисел;
   б) произведение чисел
в любом квадрате $2 \times 2$ была одна и та же.
комментарий/решение(1)
Задача №3. По окружности расставлены числа от 1 до 100 в данном порядке (рядом с числом 100 стоят числа 1 и 99). Айжан и Арман играют в следующую игру. Они ходят по очереди, игру начинает Айжан. За свой ход Айжан может выбрать любые два соседних числа, и увеличить каждое на 1. За свой ход Арман может выбрать любые два соседних числа, и поменять их местами. Если в какой-то момент все числа на окружности станут равными, то побеждает Айжан. Может ли Арман помешать Айжан выиграть?
комментарий/решение
Задача №4. Найдите все натуральные числа $n$, большие 10, для каждого из которых числа $n!$ и $(n-1)!+(n+1)!$ оканчиваются на одинаковое число нулей. (Как обычно, $n!$ означает произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$.)
комментарий/решение(2)
Задача №5. Асан и Арман играют в следующую игру. Асан задумывает двузначное число $A$, не кратное 11, и сообщает его Арману. После этого Арман задумывает двузначное число $B$ и называет его Асану. Затем на доске записываются числа $$A+B, \ A+2B, \ A+3B, \ \ldots, \ A+120B.$$ После этого, если на доске найдётся число, оканчивающаяся на две одинаковые цифры, то выигрывает Асан. Сможет ли Арман противостоять выигрышу Асана?
комментарий/решение