8-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 6 класс, 2 тур

100 учеников встали в одну шеренгу, и рассчитались слева направо от 1 до 100. Учитель дал первому ученику некоторое число конфет, и попросил их как-то поделить между собой. Первый взял себе $\frac{1}{100}$ часть, а остальные передал второму. Второй оставил себе $\frac{1}{99}$ часть от того, что получил, а остальные передал третьему, и так далее, 99-ый оставил себе $\frac{1}{2}$ часть, а остаток передал 100-му ученику. Известно, что ученики с номерами 1 и 100 ученики получили вместе 8 конфет. Сколько конфет суммарно получили ученики с номерами 2 и 99?

Комментарий/решение

Ответ: 8

Решение:

Пусть всего $x$ конфет. Тогда первый получил $\frac{x}{100}$ конфет, второй получил $\frac{1}{99} \cdot \left(x - \frac{x}{100}\right) = \frac{1}{99} \cdot \frac{99x}{100} = \frac{x}{100}$ конфет. $n$-ый ученик получит $\frac{1}{n} \cdot \frac{nx}{100} = \frac{x}{100}$ конфет. То есть любой ученик взял ровно по $\frac{x}{100}$ конфет. Значит все они взяли поровну конфет, тогда 2 и 99 ученики получили столько же сколько и 1 и 100 ученики.