8-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 6 класс, 2 тур

100 оқушы бір қатарға тұрып, солдан оңға қарай 1-ден 100-ге дейін есептелді. Мұғалім 1-нөмірлі оқушыға белгілі бір мөлшерде кәмпит беріп, оларды бір-бірімен бөлісуді тапсырды. Бірінші оқушы кәмпиттің $\frac{1}{100}$ бөлігін өзіне алып, қалғанын екінші оқушыға берді. Екінші оқушы алғанының $\frac{1}{99}$ бөлігін өзіне алып, қалғанын үшіншіге берді, және сол сияқты жалғаса бере, 99-шы оқушы алғанының $\frac{1}{2}$ бөлігін алып, қалғанын 100-ші оқушыға берді. 1 және 100-нөмірлі оқушылар барлығы жалпы 8 кәмпит алғаны белгілі. 2 және 99-нөмірлі оқушылар бірігіп неше кәмпит алды?

Комментарий/решение

Ответ: 8

Решение:

Пусть всего х конфет. Тогда первый получил х/100 конфет, второй получил 1/99 • (х - х/100) = 1/99 • 99х/100 = х/100 конфет. n-ый ученик получит 1/n • nx/100 = x/100 конфет. То есть любой ученик взял ровно по х/100 конфет. Значит все они взяли поровну конфет, тогда 2 и 99 ученики получили столько же сколько и 1 и 100 ученики