8-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 6 класс, 2 тур

100 оқушы бір қатарға тұрып, солдан оңға қарай 1-ден 100-ге дейін есептелді. Мұғалім 1-нөмірлі оқушыға белгілі бір мөлшерде кәмпит беріп, оларды бір-бірімен бөлісуді тапсырды. Бірінші оқушы кәмпиттің $\frac{1}{100}$ бөлігін өзіне алып, қалғанын екінші оқушыға берді. Екінші оқушы алғанының $\frac{1}{99}$ бөлігін өзіне алып, қалғанын үшіншіге берді, және сол сияқты жалғаса бере, 99-шы оқушы алғанының $\frac{1}{2}$ бөлігін алып, қалғанын 100-ші оқушыға берді. 1 және 100-нөмірлі оқушылар барлығы жалпы 8 кәмпит алғаны белгілі. 2 және 99-нөмірлі оқушылар бірігіп неше кәмпит алды?

Комментарий/решение

Ответ: 8

Решение:

Пусть всего $x$ конфет. Тогда первый получил $\frac{x}{100}$ конфет, второй получил $\frac{1}{99} \cdot \left(x - \frac{x}{100}\right) = \frac{1}{99} \cdot \frac{99x}{100} = \frac{x}{100}$ конфет. $n$-ый ученик получит $\frac{1}{n} \cdot \frac{nx}{100} = \frac{x}{100}$ конфет. То есть любой ученик взял ровно по $\frac{x}{100}$ конфет. Значит все они взяли поровну конфет, тогда 2 и 99 ученики получили столько же сколько и 1 и 100 ученики.