қазақша
русскийГородская Жаутыковская олимпиада по математике, 8 класс, 2025 год
Задача №1. Какое наименьшее натуральное значение может принимать выражение $$95a^2+80ab+20b^2$$ для целых чисел $a$ и $b$?
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)
Задача №2. Два натуральных числа назовём хорошими, если их сумма делится на 9, а произведение делится на 81. Сколько существует пар хороших трёхзначных чисел таких, что они записываются шестью различными цифрами, причём каждая из этих цифр больше 0 и меньше 8? (Пары чисел $(M,N)$ и $(N,M)$ считаются одинаковыми.)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №3. Дан треугольник $ABC$ с прямым углом $B$. На сторонах $AC$ и $AB$ нашлись точки $P$ и $Q$ соответственно такие, что $AP=PC$ и $\angle BQC=\angle AQP$. Найдите $AQ/QB$.
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №4. У Куаныша есть 10 внешне одинаковых монет. Ювелир ему сообщил, что среди них 5 настоящих и 5 фальшивых, но не сообщил, какие монеты какими являются. За одну операцию Куаныш может выбрать любые 3 монеты, а в ответ ювелир укажет на какие-то две из них и честно сообщит, сколько из них фальшивых. Верно ли, что Куаныш за 2025 операций гарантированно сможет распознать все 5 фальшивых монет независимо от действий ювелира?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №5. Квадрат разбит на 5 частей. Может ли оказаться так, что из всех этих частей можно сложить прямоугольник, у которого соседние стороны отличаются в $5$ раз?
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)
Задача №6. Точки $A,B,C,D$ на плоскости таковы, что $DA=DB=DC$, $\angle BAC=35^\circ$, $\angle ABC=20^\circ$. Докажите, что точки $A,B,C,D$ являются вершинами трапеции.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №7. На доску $3 \times 3$ поставили $N$ фишек, в каждую клетку — одну или несколько фишек. Известно, что во всех строках и столбцах количества фишек различны. Какое наименьшее значение может принимать $N$?
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №8. Решите в действительных числах систему уравнений $$\left\{ \begin{matrix} 2\sqrt{a}=b^{2025}+c^{2025},\\ 2\sqrt{b}=a^{2025}+c^{2025}, \\ 2\sqrt{c}=a^{2025}+b^{2025}. \end{matrix}\right. $$
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)