Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 8 класс, 2025 год

Какое наименьшее натуральное значение может принимать выражение $$95a^2+80ab+20b^2$$ для целых чисел $a$ и $b$?

Комментарий/решение

Дано:

\[ 5(19a^2 + 16ab + 4b^2) \]

Пусть:

\[ 19a^2 + 16ab + 4b^2 \geq Y \]

Тогда:

\[ 4b^2 + 16ab + 19a^2 - Y \geq 0 \]

Минимальное значение квадратного уравнения относительно \( b \) достигается при:

\[ D = 256a^2 - 16(19a^2 - Y) \geq 0 \]

\[ 256a^2 - 304a^2 + 16Y \geq 0 \]

\[ -48a^2 + 16Y \geq 0 \]

\[ 16Y \geq 48a^2 \]

\[ Y \geq 3a^2 \]

Минимальное значение \( 3a^2 \) равно 3:

\[ \min(3a^2) = 3 \]

Таким образом:

\[ Y \geq 3 \]

\[ \min(Y) = 3 \]

Минимальное значение исходного выражения:

\[ 5 \times 3 = 15 \]

**Ответ:**

\[ \boxed{15} \]

Разве $min(3a^2)$ не 0?. Тогда $Y=1$. Я этот момент не понял. Ещё и примера нету.

Забейте на это решение там на латех непр переведено от чат гпт

В принципе можно разобрать случай когда |а|=0 и доказать что там минимум не достигается затем т к а целое следующий минимум 3а^2 это когда |а|=1

Вынесем 5 и получим

$5\times(19a^2+16ab+4b^2) = 5\times((4a+2b)^2+3a^2)$ очевидно что минимум достигается при $(a;b) = (1;-2)$, пусть это не так и a=0, тогда $2b ≠ 0$, отсюда $(2b)^2 > 3$ значит ответ $5\times3=15$