Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 8 класс, 2025 год

Дан треугольник $ABC$ с прямым углом $B$. На сторонах $AC$ и $AB$ нашлись точки $P$ и $Q$ соответственно такие, что $AP=PC$ и $\angle BQC=\angle AQP$. Найдите $AQ/QB$.

Комментарий/решение

Опустим перпендикуляр $PH$ из $Р$ на катет $AB$, $PH$ - средняя линия. Заметим что треугольники $PHQ$ и $BQC$ - подобны, причем раз $PH$ - средняя линия, то есть $PH = BC/2$ то коэффициент подобия $k = 1/2$. Тогда $HQ/QB = k = 1/2$. Пусть $HQ = x$, тогда $QB = 2x$. Так как $PH$ - средняя линия, то $AH = HB = x + 2x = 3x$, тогда $AQ = 3x + x = 4x$. Значит $AQ/QB = 4x/2x = 2:1$

$\angle QBP=\angle QAC;$ $\angle CQA=\angle BQP\Rightarrow \triangle CQP~\triangle BQP\Rightarrow AQ/QB=AC/BP=2$

Пусть $X$-середина стороны $AB$ тогда так как $PX$-средняя линия то $\triangle PQX\sim \triangle CQB$ причем $k=0.5$ откуда $AQ=AX+QX=BX+QX=BQ+QX+QX=BQ+BQ=2BQ$