Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 8 класс, 2025 год

Два натуральных числа назовём хорошими, если их сумма делится на 9, а произведение делится на 81. Сколько существует пар хороших трёхзначных чисел таких, что они записываются шестью различными цифрами, причём каждая из этих цифр больше 0 и меньше 8? (Пары чисел $(M,N)$ и $(N,M)$ считаются одинаковыми.)

Комментарий/решение

Если сумма чисел делится на 9, значит их сумма цифр тоже, очевидно что сумма от 1 до 7 равна 28, значит у нас нет цифры 1, теперь у нас есть 6 чисел и их надо использовать, тк произведение делилось на 81, то значит

1) одно число делится на 81, 2) оба делятся на 9

1) значит одно чисел делится на 9, значит и другое тк сумма делится

2) очевидно что оба числа делятся на 9

если первое делится на 9 и второе, значит сумма цифр одного 9, у другого 18, если 18, то 5+6+7=18 значит все пары содержат одно из чисел 567;576;657;675;756;765 у каждого числа есть по 6 вариантов пар

(234;243;324;342;423;432) значит всего 36 пар

Сумма цифр делится на 9 если и само число делится на 9 значит у нас есть только один случай

Число делющися на 9 и другое такое же.

9 можно представить как сумму цифр (1;2;6);(1;3;5);(2;3;4) и остальных нету но здесь у каждых совпадают некоторые цифры значит первое число должен содержать сумму цифр 9 другое 18. Заметим что 18 это только и (5;6;7) значит (1;2;6) а так же (1;3;5) не подходят а 234 можно разложить 3! Способоми и 567 тоже 3!

Значит ответ:3!²=36