11-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2024 год, первая лига, 7-8 классы

Есеп №1.

$4 \times 4$ өлшемді шаршы шығатындай етіп,

$A, B$ фигураларының әрқайсысын, сәйкесінше, қандай да

$l_A, l_B$ түзулеріне қатысты симметриялап, кейін

$C$ фигурасын бұрыңыз.

$l_A, l_B$ түзулерін және

$C$ -ның бұру центрін көрсетіп, осы

$A, B$ және

$C$ -ға қолданылған операциялардан алынған фигураларды салып көрсетіңіз.

комментарий/решение(1)

Есеп №2. Қабырғасы 20-ға тең

$ABCD$ шаршысының

$A$ төбесінен жарық сәуле шығып, сәйкесінше,

$BC, CD, DA$ қабырғаларынан шағылып, кейін

$AB$ қабырғасының ортасына жетеді. Осы сәуленің жүріп өткен жолының ұзындығы нешеге тең?

комментарий/решение(1)

Есеп №3. Дөңес

$ABCD$ төртбұрышының ішінде

$T$ нүктесі белгіленген.

$AT$ кесіндісінен

$DT = BC$ және

$\angle TSD = 90^\circ$ болатындай

$S$ нүктесі алынған. Егер

$\angle DTA + \angle TAB + \angle ABC = 180^\circ$ болса,

$AB + ST \geqslant CD + AS$ екенін дәлелдеңіз. (Ұйымдастырушылар есепті қосымша

$BC>AD$ шартымен шешу керектігін кеш хабарлады.)
комментарий/решение(4)

Есеп №4. Іштей сызылған

$n$ -бұрыштың (

$n > 3$ ) бір төбесінен барлық диагоналдарды жүргізіп, көпбұрышты

${n-2}$ үшбұрышқа бөлген. Осы үшбұрыштардың ең көп дегенде нешеуі тең үшбұрыштар бола алады? (Іштей сызылған

$n$ -бұрыш деп, төбелері бір шеңберде жататын көпбұрышты айтамыз.) (Бұл есептің берілгені түпнұсқадан ерекшеленеді, себебі ол қате аударылған.)
комментарий/решение

Есеп №5.

$Y, Z$ нүктелері сүйір бұрышты

$ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің

$BC$ -ның кіші доғасындағы нүктелер (мұнда

$Y$ нүктесі

$BZ$ кіші доғасында жатыр).

$X$ нүктесі үшін

$\triangle ABC$ және

$\triangle XYZ$ үшбұрыштары ұқсас және

$A, X$ нүктелері

$YZ$ түзуінің бір жағында жатыр.

$XY, XZ$ түзулері

$AB, AC$ қабырғаларын, сәйкесінше,

$E, F$ нүктелерінде қияды.

$BY$ және

$CZ$ түзулері

$K$ нүктесінде қиылысады.

$AEF$ және

$KBC$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлердің қиылысу нүктелерінің бірі

$KX$ түзуінде жатқанын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)