11-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2024 год, первая лига, 7-8 классы

Внутри выпуклого четырёхугольника $ABCD$ выбрана точка $T$. Точка $S$ лежит на отрезке $AT$ так, что $DT = BC$, $\angle TSD = 90^\circ$. Докажите, что если $\angle DTA + \angle TAB + \angle ABC = 180^\circ$, то $AB + ST \geqslant CD + AS$. (Организаторы поздно сообщили, что задачу нужно решать с дополнительным условием $BC>AD$.)

Комментарий/решение

Возьмём точку B' такую что: m(CBB')=m(DTA) и AT=BB' .

m(TAB)+m(ABC)+m(CBB')=180° , AT=BB' => ABB'T - параллелограм.

DT=CB , AT=BB' , m(CBB')=m(DTA) => треугольники ADT и B'CB равны.

Пусть CH - высота треугольника CBB'

Из за равенства треугольников, DS=CH. AT||BB' => m(TSH)=m(SHB)=α => m(DSH)=90°+α , m(SHC)=90-α => m(DSH)+m(SHC)=180° => DS||CH

DS||CH , DS=CH => DSHC - параллелограм

Возьмём точку S' на отрезке BB' такую что AB||SS' => ABS'S параллелограм

DS=CH , m(DAT)=m(BB'C) , m(CHB')=m(DSA) => треугольники ADS и B'CH равны => AS=HB'

AB+ST>=CD+AS (!)

SS'+S'B'>=SH+BS' (!)

SS'+BH>=SH+BS' (!)

SS'+S'H>=SH (!)

А это уже очевидно по неравенству треугольника SS'H

И даже без доп условия справится возможно

Неправильно прочитал

А если S`H>BH