11-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2024 год, первая лига, 7-8 классы

Задача №1. Отразите каждую из фигур $A, B$ относительно некоторых прямых $l_A, l_B$ соответственно и поверните фигуру $C$ таким образом, чтобы получился квадрат размера $4 \times 4$. Покажите прямые $l_A, l_B$ и центр поворота, а также нарисуйте три новые фигуры, полученные при применении операции для $A, B$ и $C$.

комментарий/решение

Задача №2. Дан квадрат $ABCD$ со стороной 20. Луч света выходит из точки $A$ и, отражаясь от сторон $BC, CD, DA$ соответственно, достигает середины стороны $AB$. Какова длина пути, который прошёл луч?

комментарий/решение(1)

Задача №3. Внутри выпуклого четырёхугольника $ABCD$ выбрана точка $T$. Точка $S$ лежит на отрезке $AT$ так, что $DT = BC$, $\angle TSD = 90^\circ$. Докажите, что если $\angle DTA + \angle TAB + \angle ABC = 180^\circ$, то $AB + ST \geqslant CD + AS$. (Организаторы поздно сообщили, что задачу нужно решать с дополнительным условием $BC>AD$.)
комментарий/решение(3)

Задача №4. Дан вписанный $n$-угольник ($n > 3$). Через его одну вершину проведены все диагонали, которые делят его на ${n-2}$ треугольника. Каково наибольшее возможное количество равных треугольников, полученных в результате этого деления? (Вписанный $n$-угольник — это $n$-угольник, у которого все вершины лежат на окружности.) (Условие этой задачи отличается от оригинальной, так как был неправильно переведен.)
комментарий/решение

Задача №5. Точки $Y, Z$ лежат на малой дуге $BC$ описанной окружности остроугольного треугольника $ABC$ (здесь точка $Y$ лежит на малой дуге $BZ$). Пусть $X$ такая точка, что треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle XYZ$ подобны, а $A, X$ лежат по одну сторону от прямой $YZ$. Прямые $XY, XZ$ пересекают стороны $AB, AC$ в точках $E, F$ соответственно. Пусть $K$ — точка пересечения прямых $BY$ и $CZ$. Докажите, что одна из точек пересечения описанных окружностей треугольников $AEF$ и $KBC$, лежит на прямой $KX$.
комментарий/решение