11-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2024 год, первая лига, 7-8 классы
Задача №1. Отразите каждую из фигур A,B относительно некоторых прямых lA,lB соответственно и поверните фигуру C таким образом, чтобы получился квадрат размера 4×4. Покажите прямые lA,lB и центр поворота, а также нарисуйте три новые фигуры, полученные при применении операции для A,B и C.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. Дан квадрат ABCD со стороной 20. Луч света выходит из точки A и, отражаясь от сторон BC,CD,DA соответственно, достигает середины стороны AB. Какова длина пути, который прошёл луч?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. Внутри выпуклого четырёхугольника ABCD выбрана точка T. Точка S лежит на отрезке AT так, что DT=BC, ∠TSD=90∘. Докажите, что если ∠DTA+∠TAB+∠ABC=180∘, то AB+ST⩾. (Организаторы поздно сообщили, что задачу нужно решать с дополнительным условием BC>AD.)
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)
Задача №4. Дан вписанный n-угольник (n > 3). Через его одну вершину проведены все диагонали, которые делят его на {n-2} треугольника. Каково наибольшее возможное количество равных треугольников, полученных в результате этого деления? (Вписанный n-угольник — это n-угольник, у которого все вершины лежат на окружности.) (Условие этой задачи отличается от оригинальной, так как был неправильно переведен.)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №5. Точки Y, Z лежат на малой дуге BC описанной окружности остроугольного треугольника ABC (здесь точка Y лежит на малой дуге BZ). Пусть X такая точка, что треугольники \triangle ABC и \triangle XYZ подобны, а A, X лежат по одну сторону от прямой YZ. Прямые XY, XZ пересекают стороны AB, AC в точках E, F соответственно. Пусть K — точка пересечения прямых BY и CZ. Докажите, что одна из точек пересечения описанных окружностей треугольников AEF и KBC, лежит на прямой KX.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)